Seja
uma transformação linear.
Se
é sobrejetora e
, qual é a
?
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos uma transformação linear
. Sabemos que
é sobrejetora (ou seja, todo vetor em
é imagem de pelo menos um vetor em
) e que a dimensão do núcleo de
é 2, ou seja,
. Nosso objetivo é descobrir qual é a dimensão de
, ou seja,
.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos utilizar o Teorema do Núcleo e Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão). Esse teorema nos diz que para uma transformação linear
, temos:
Onde:
-
é a dimensão do núcleo de . -
é a dimensão da imagem de , também conhecida como posto de .
Passo 3
Sabemos que
é sobrejetora, o que significa que a imagem de
é todo o espaço
. Portanto:
Passo 4
Já nos deram que
. Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
Resposta
A dimensão de
é 7.