Seja F: V R^5 uma transformação linear.
Se F é sobrejetora e dim Ker(F)=2, qual é a dim(V)?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos uma transformação linear F: V R^5 . Sabemos que F é sobrejetora (ou seja, todo vetor em R^5 é imagem de pelo menos um vetor em V ) e que a dimensão do núcleo de F é 2, ou seja, dim(ker(F)) = 2 . Nosso objetivo é descobrir qual é a dimensão de V , ou seja, dim(V) .

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos utilizar o Teorema do Núcleo e Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão). Esse teorema nos diz que para uma transformação linear F: V W , temos:
dim(V) = dim(ker(F)) + dim(Im(F))
Onde:
  • dim(ker(F)) é a dimensão do núcleo de F .
  • dim(Im(F)) é a dimensão da imagem de F , também conhecida como posto de F .

Passo 3

Sabemos que F é sobrejetora, o que significa que a imagem de F é todo o espaço R^5. Portanto:
dim(Im(F)) = dim(R^5) = 5

Passo 4

Já nos deram que dim(ker(F)) = 2 . Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
dim(V) = dim(ker(F)) + dim(Im(F)) = 2 + 5 = 7

Resposta

A dimensão de V é 7.

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