Exercício 4. Verifique se os vetores vecu, v e vecw são LD ou LI.
vecu=(7,6,1), v=(2,0,1), w=(1,-2,1).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores u,v,w em R^3 e pede para verificar se eles são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI). Para isso, vamos usar o critério do determinante: formamos uma matriz com esses vetores e calculamos seu determinante; se for não nulo, eles são LI, caso contrário LD.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são u,v,w:
A = 7 & 2 & 1 6 & 0 & -2 1 & 1 & 1
Em R^3, um conjunto de três vetores é LI se e somente se det(A)neq 0.

Passo 3

Calculamos det(A) pela regra de Sarrus. Copiando as duas primeiras colunas ao lado, temos
det(A) = (7cdot 0cdot 1) + (2cdot (-2) cdot 1) + (1cdot 6 cdot 1) - l((1cdot 0 cdot 1) + (7 cdot (-2) cdot 1) + (2 cdot 6 cdot 1)r)
Agora cada termo:
7 cdot 0 cdot 1 = 0, 2 cdot (-2) cdot 1 = -4, 1 cdot 6 cdot 1 = 6,
1 cdot 0 cdot 1 = 0, 7 cdot (-2) cdot 1 = -14, 2 cdot 6 cdot 1 = 12
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det(A) = (0 - 4 + 6) - (0 - 14 + 12) = 2 - (-2) = 4

Passo 4

Como det(A)=4neq 0, concluímos que u,v,w são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são LI.

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