Exercicio 6 Com os vetores u=(2,-1,3) e v=(1,4,-2) :
a) Calcule u.v.
b) Determine os módulos |u| e |v|.
c) Use a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,-1,3) e v=(1,4,-2) e pede:
a) o produto escalar ucdotv;
b) os módulos |u| e |v|;
c) o ângulo theta entre eles, usando
costheta = ucdotv|u|;|v|
Para isso precisamos saber que, em R^3,
ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3,
|u|=raizu1^2+u2^2+u3^2

Passo 2

Calcular o produto escalar
ucdotv =2cdot1 + (-1)cdot4 + 3cdot(-2) =2 -4 -6 =-8

Passo 3

Calcular os módulos
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14,
|v| = raiz1^2 + 4^2 + (-2)^2 = raiz1 + 16 + 4 = raiz21

Passo 4

Usar a fórmula do ângulo:
costheta = ucdotv|u|;|v| = -8raiz14,raiz21 = -8raiz294 = -87raiz6 = -4raiz621
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theta = arccos!l(-tfrac4raiz621r) approx 118,2^circ

Resposta

(a) ucdotv = -8.
(b) |u| = raiz14,;|v| = raiz21
(c) theta = arccos!l(-4raiz621r)approx 118,2^circ.

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