Exercício 8. Para u e v, vetores a, b, c in R tais que b neq 0 e c neq 0, prove que:
vb+uc=c v+b ub c

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados os vetores u,v e os escalares bneq0, cneq0, vale a identidade\r
vb+uc=c,v+b,ub,c\r
O que vamos usar são as propriedades de multiplicação de vetor por escalar, em particular a distributividade sobre soma e a regra de “fatorar” frações iguais.

Passo 2

Escrevemos cada fração como múltiplo escalar padrão:\r
vb=1b,v, uc=1c,u\r
Isso torna explícita a ideia de procurar um denominador comum para somar.

Passo 3

Para somar tfrac1bv+tfrac1cu buscamos o denominador comum b,c. Multiplicamos a primeira parcela por tfraccc e a segunda por tfracbb:\r

Passo 4

Somando as duas parcelas com mesmo denominador e depois “fatorando” 1/(b,c) por distributividade, obtemos\r

Resposta

vb+uc=c,v+b,ub,c

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