Exercício 8. Para u e v, vetores a, b, c in R tais que b neq 0 e c neq 0, prove que:
vb-uc=c v-b ub c

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo vetores e escalares não nulos b e c:
vec vb-vec uc=c,vec v - b,vec ub,c
O conteúdo aqui é a propriedade de multiplicação de vetores por escalares e a soma (ou subtração) de vetores.

Passo 2

Lembremos que dividir um vetor por um escalar é o mesmo que multiplicar pelo inverso desse escalar. Logo,
vec vb=1b,vec v, vec uc=1c,vec u
Substituindo na expressão dada,
vec vb-vec uc =1b,vec v-1c,vec u

Passo 3

Para combinar as duas parcelas num único quociente, basta colocá-las sobre o mesmo denominador b,c. Observe que
1b,vec v=cb,c,vec v, 1c,vec u=bb,c,vec u
Portanto,
vec vb-vec uc =cb,c,vec v-bb,c,vec u =c,vec v - b,vec ub,c

Resposta

vec vb-vec uc=c,vec v - b,vec ub,c

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