a) A transformação é sobrejetora? Justifique sua resposta.
b) Determine, caso existam, uma base para o núcleo e outra base para a imagem de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear que pega matrizes e as transforma em vetores no espaço . Especificamente, é definida por:
Hoje vamos verificar se essa transformação é sobrejetora e encontrar bases para o núcleo e a imagem de . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear, imagem, núcleo e sobrejetividade.
Passo 2
Parte a: A transformação é sobrejetora?
Uma transformação linear é sobrejetora se toda posição do espaço de chegada ( no nosso caso) pode ser alcançada por algum elemento do espaço de partida (). Ou seja, para todo em , existe uma matriz tal que:
Vamos ver se conseguimos resolver essas equações para qualquer e .
Passo 3
Da primeira equação , podemos escolher livremente e definir .
Da segunda equação , podemos escolher livremente e definir .
Isso mostra que para qualquer , conseguimos encontrar que satisfazem as equações. Portanto, mapea todo .
Passo 4
Conclusão da Parte a: Como conseguimos obter qualquer vetor em a partir de alguma matriz em , a transformação é sobrejetora.
Passo 5
Parte b: Determinar uma base para o núcleo e outra para a imagem de .
Primeiro, o núcleo de () é o conjunto de todas as matrizes que transforma no vetor zero de :
Ou seja:
Segundo, a imagem de () é o conjunto de todos os vetores que pode produzir, que já vimos que é porque é sobrejetora.
Passo 6
Encontrando o Núcleo:
Resolvendo as equações do núcleo:
Portanto, qualquer matriz no núcleo pode ser escrita como:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelas matrizes 1 & 0 2 & 0 e 0 & -3 0 & 1 .
Encontrando a Imagem:
Como T é sobrejetora para R^2 , a imagem é todo R^2 , e uma base para R^2 pode ser, por exemplo, os vetores 1 0 e 0 1 .