Seja T: M(2 times 2) R^2 uma transformação linear, tal que
T([ll a & b c & d ])=(c-2 a, b+3 d)
a) A transformação T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
b) Determine, caso existam, uma base para o núcleo e outra base para a imagem de T ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear T que pega matrizes 2 times 2 e as transforma em vetores no espaço R^2 . Especificamente, T é definida por:
T( a & b c & d ) = (c - 2a, b + 3d)
Hoje vamos verificar se essa transformação é sobrejetora e encontrar bases para o núcleo e a imagem de T . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear, imagem, núcleo e sobrejetividade.

Passo 2

Parte a: A transformação T é sobrejetora?
Uma transformação linear é sobrejetora se toda posição do espaço de chegada ( R^2 no nosso caso) pode ser alcançada por algum elemento do espaço de partida ( M(2 times 2) ). Ou seja, para todo (y1, y2) em R^2 , existe uma matriz a & b c & d tal que:
c - 2a = y1 e b + 3d = y2
Vamos ver se conseguimos resolver essas equações para qualquer y1 e y2 .

Passo 3

Da primeira equação c - 2a = y1 , podemos escolher a livremente e definir c = y1 + 2a .
Da segunda equação b + 3d = y2 , podemos escolher d livremente e definir b = y2 - 3d .
Isso mostra que para qualquer (y1, y2) , conseguimos encontrar a, b, c, d que satisfazem as equações. Portanto, T mapea todo R^2 .

Passo 4

Conclusão da Parte a: Como conseguimos obter qualquer vetor em R^2 a partir de alguma matriz em M(2 times 2) , a transformação T é sobrejetora.

Passo 5

Parte b: Determinar uma base para o núcleo e outra para a imagem de T .
Primeiro, o núcleo de T ( Ker(T) ) é o conjunto de todas as matrizes que T transforma no vetor zero de R^2 :
T( a & b c & d ) = (0, 0)
Ou seja:
c - 2a = 0 e b + 3d = 0
Segundo, a imagem de T ( Im(T) ) é o conjunto de todos os vetores que T pode produzir, que já vimos que é R^2 porque T é sobrejetora.

Passo 6

Encontrando o Núcleo:
Resolvendo as equações do núcleo:
  1. c = 2a
  2. b = -3d
Portanto, qualquer matriz no núcleo pode ser escrita como:
a & -3d 2a & d = a 1 & 0 2 & 0 + d 0 & -3 0 & 1
Isso mostra que o núcleo é gerado pelas matrizes 1 & 0 2 & 0 e 0 & -3 0 & 1 .
Encontrando a Imagem:
Como T é sobrejetora para R^2 , a imagem é todo R^2 , e uma base para R^2 pode ser, por exemplo, os vetores 1 0 e 0 1 .

Resposta

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