Sejam u1=(1,0,1), u2=(0,1,-2), u3=(-1,1,0) in R^3.
Seja f in(R^3)^* tal que f(u1)=1, f(u2)=-1 e f(u3)=3. Determine f(a, b, c), onde (a, b, c) in R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: u1=(1,0,1), u2=(0,1,-2) e u3=(-1,1,0). Também temos uma função linear f que atua nesse espaço e sabe que:
  • f(u1)=1
  • f(u2)=-1
  • f(u3)=3
A missão é descobrir como essa função f age em qualquer vetor (a, b, c) in R^3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre funções lineares e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função linear f: R^3 to R pode ser representada como:
f(a, b, c) = alpha a + beta b + gamma c
Onde alpha, beta e gamma são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos como f age nos vetores u1, u2 e u3. Vamos substituir esses vetores na expressão de f para montar um sistema de equações:
Para u1=(1,0,1):
alpha cdot 1 + beta cdot 0 + gamma cdot 1 = 1 Rightarrow alpha + gamma = 1
Para u2=(0,1,-2):
alpha cdot 0 + beta cdot 1 + gamma cdot (-2) = -1 Rightarrow beta - 2gamma = -1
Para u3=(-1,1,0):
alpha cdot (-1) + beta cdot 1 + gamma cdot 0 = 3 Rightarrow -alpha + beta = 3

Passo 4

Agora temos o seguinte sistema de equações:
alpha + gamma = 1 beta - 2gamma = -1 -alpha + beta = 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Da primeira equação, podemos expressar alpha em função de gamma:
alpha = 1 - gamma

Passo 6

Substituímos alpha na terceira equação:
-(1 - gamma) + beta = 3 -1 + gamma + beta = 3 beta + gamma = 4

Passo 7

Agora temos duas equações com beta e gamma:
beta + gamma = 4 beta - 2gamma = -1
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(beta + gamma) - (beta - 2gamma) = 4 - (-1) 3gamma = 5 gamma = 53

Passo 8

Com o valor de gamma, encontramos beta:
beta + 53 = 4 beta = 4 - 53 = 123 - 53 = 73

Passo 9

E finalmente, encontramos alpha usando a relação do Passo 5:
alpha = 1 - 53 = -23

Resposta

Então, a função f(a, b, c) é dada por:
f(a, b, c) = -23a + 73b + 53c

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