Exercício 9 - Você é o responsável por uma etapa de um processo produtivo e decidiu analisar o tempo (em minutos) de execução pela equipe do turno da manhã de uma determinada tarefa. Os tempos estão apresentados a seguir:
12 26 9 15 19 28 24 20 35
14 25 29 32 36 38 27 19 29
15 34 30 29 23 38 26 29 14
17 10 21 31 11 19 20 25 23
Para que possa tomar certas decisões, você pede:
a) Organize esses valores em uma distribuição de frequência adequada;
b) Qual a proporção de funcionários com tempo de no mínimo 24 minutos?
c) Se apenas 30 \% dos funcionários tiverem tempo igual ou superior a 29 minutos eles não precisarão fazer hora extra. Os funcionários da manhã precisarão fazer hora extra?
d) Qual o maior tempo dos 25 \% funcionários mais rápidos?
e) Construa o histograma da distribuição.

Passo 1

O enunciado fornece os tempos (em minutos) de execução de uma tarefa por todos os funcionários do turno da manhã, são 36 observações listadas em tabela. As perguntas são:
  • (a) Organizar esses valores em uma distribuição de frequência adequada (ou seja: classes, frequências absolutas e relativas).
  • (b) Qual a proporção (fração/porcentagem) de funcionários com tempo de no mínimo 24 minutos?
  • (c) Considerando a regra “se apenas 30\% dos funcionários tiverem tempo \ge 29 min, eles não precisarão fazer hora extra”, os funcionários da manhã precisarão fazer hora extra?
  • (d) Qual o maior tempo entre os 25\% funcionários mais rápidos?
  • (e) Construir o histograma da distribuição (descrever como desenhar / quais barras colocar).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Lista dos tempos (totalizando n=36 valores):
    12,26,9,15,19,28,24,20,35,14,25,29,32,36,38,27,19,29,15,34,30,29,23,38,26,29,14,17,10,21,31,11,19,20,25,23.

Passo 2

Vou preparar a distribuição de frequência. Primeiro uma palavrinha didática sobre escolhas:
  • O alcance (range) da amostra e a escolha do número de classes (ou da largura das classes) determinam a tabela de frequência. Uma escolha simples e prática para testes/provas é usar classes com largura uniforme e arredondada (por exemplo 5 minutos), o que facilita contagem manual e desenho do histograma.
  • Cálculo do range: \text{mínimo} = 9,\qquad \text{máximo} = 38,íá
\text{range} = 38-9 = 29.
  • Se uso largura de classe h=5 então o número aproximado de classes será k \approx \frac{\text{range}}{h} = \frac{29}{5}\approx 5{,}8,ou seja, escolho k=6 classes de largura 5. Isso dá intervalos fáceis: [9,13], [14,18], [19,23], [24,28], [29,33], [34,38].
    Observação sobre limites: adotarei intervalos fechados nas extremidades por simplicidade (por exemplo, [9,13] inclui 9,10,11,12,13), mas como não há valores exatamente nas fronteiras superiores (13,18,23,28,33) não há ambiguidade nos dados.

Passo 3

Agora conto quantos valores caem em cada classe (passo a passo):
  • Classe [9,13]: contém 9,10,11,12. Frequência absoluta f_1=4.
  • Classe [14,18]: contém 14,14,15,15,17. Frequência absoluta f_2=5.
  • Classe [19,23]: contém 19,19,19,20,20,21,23,23. Frequência absoluta f_3=8.
  • Classe [24,28]: contém 24,25,25,26,26,27,28. Frequência absoluta f_4=7.
  • Classe [29,33]: contém 29,29,29,29,30,31,32. Frequência absoluta f_5=7.
  • Classe [34,38]: contém 34,35,36,38,38. Frequência absoluta f_6=5.
Cheque de consistência: somando 4+5+8+7+7+5=36, que é o total n=36. Tudo confere.
Agora calculo frequências relativas (proporções) e percentuais: para cada classe f_i a frequência relativa é \dfrac{f_i}{n}.
  • \dfrac{4}{36}=0{,}1111 (ou 11{,}11\%).
  • \dfrac{5}{36}=0{,}1389 (ou 13{,}89\%).
  • \dfrac{8}{36}=0{,}2222 (ou 22{,}22\%).
  • \dfrac{7}{36}=0{,}1944 (ou 19{,}44\%).
  • \dfrac{7}{36}=0{,}1944 (ou 19{,}44\%).
  • \dfrac{5}{36}=0{,}1389 (ou 13{,}89\%).

Passo 4

Resposta da parte (b): proporção com tempo de no mínimo 24 minutos.
  • “Tempo de no mínimo 24” significa \ge 24. Conto os valores \ge 24: pertencem às classes [24,28], [29,33] e [34,38]. Soma das frequências =7+7+5=19.
  • Proporção = \dfrac{19}{36}=0{,}5278 (aproximadamente 52{,}78\%).
    Explicação didática: peguei os dados das classes que cobrem todos os valores \ge 24 e somei as frequências, depois dividi pelo total n.

Passo 5

Resposta da parte (c): comparar proporção de funcionários com tempo \ge 29 com 30\%.
  • Contagem de valores \ge 29: esses são os elementos na classe [29,33] (7 observações) e [34,38] (5 observações), total 7+5=12.
  • Proporção = \dfrac{12}{36}=0{,}3333 (ou 33{,}33\%).
  • A regra mencionada fala de 30\%. Como 33{,}33\%>30\%, a condição “apenas 30\% têm \ge 29 min” não se aplica: na realidade mais de 30\% têm \ge 29 min. Portanto, segundo a interpretação natural da regra (se ao menos 30\% estão \ge 29, não haverá hora extra), os funcionários da manhã NÃO precisarão fazer hora extra, porque 33{,}33\% \ge 30\%.
    Observação: a interpretação da regra é que atingir ou ultrapassar 30\% de funcionários com tempo \ge 29 evita hora extra; como a amostra tem 33{,}33\%, a condição está satisfeita.

Passo 6

Resposta da parte (d): maior tempo entre os 25\% funcionários mais rápidos.
  • “Funcionários mais rápidos” têm os menores tempos. 25\% de n=36 corresponde a 0{,}25\cdot 36 = 9 funcionários.
  • Ordenando os tempos em ordem crescente (para checar):
    9,10,11,12,14,14,15,15,17,19,19,19,20,20,21,23,23,24,25,25,26,26,27,28,29,29,29,29,30,31,32,34,35,36,38,38.
  • Os 9 mais rápidos são os primeiros 9 dessa lista: último (maior) entre esses é 17. Logo o maior tempo entre os 25\% mais rápidos é 17 minutos.
    Comentário metodológico: uma alternativa seria usar definição de percentil com interpolação (posição p(n+1)), mas a pergunta pediu explicitamente “maior tempo dos 25\% mais rápidos”, que corresponde diretamente ao nono menor valor quando 25\%\cdot n é inteiro.

Passo 7

Parte (e) — como construir o histograma (instruções claras e o que deve aparecer).
  • Usar no eixo horizontal (x) os intervalos de classe escolhidos: [9,13], [14,18], [19,23], [24,28], [29,33], [34,38]. Cada barra ocupa um intervalo contínuo (sem espaços entre barras).
  • Largura de cada barra: 5 minutos (ou proporcional no desenho).
  • Altura de cada barra: use a frequência absoluta (ou frequência relativa) como altura. Aqui as alturas (frequências absolutas) são, por classe, 4,5,8,7,7,5.
  • Exemplo de escala do eixo vertical: de 0 a 9 com marcações em 1 (ou de 0\% a 25\% se usar frequência relativa).
  • Etiquetas: em cada barra escrever a frequência (por exemplo, sobre a barra [19,23] escrever “8” ou “22,22%”).
  • Aparência: barras adjacentes (sem espaçamento) porque os dados são contínuos em classes. Se preferir mostrar densidade (quando classes tivessem larguras diferentes) dividir frequência por largura da classe; aqui todas têm mesma largura, então altura proporcional à frequência já funciona.
    Resumo prático para desenhar: desenhar 6 barras com bases nos intervalos acima e alturas 4,5,8,7,7,5 respectivamente; rotular eixos: “Tempo (min)” no x e “Frequência (número de funcionários)” no y.

Resposta

a) Distribuição de frequência (classes, f_i, frequência relativa):
[9,13]: f=4, 4/36=0{,}1111 ( 11{,}11\%)
[14,18]: f=5, 5/36=0{,}1389 ( 13{,}89\%)
[19,23]: f=8, 8/36=0{,}2222 ( 22{,}22\%)
[24,28]: f=7, 7/36=0{,}1944 ( 19{,}44\%)
[29,33]: f=7, 7/36=0{,}1944 ( 19{,}44\%)
[34,38]: f=5, 5/36=0{,}1389 ( 13{,}89\%)
b) Proporção com tempo \ge 24: \dfrac{19}{36}=0{,}5278 (aprox. 52{,}78\%).
c) Proporção com tempo \ge 29: \dfrac{12}{36}=0{,}3333 (aprox. 33{,}33\%). Como 33{,}33\%>30\%, os funcionários da manhã NÃO precisarão fazer hora extra segundo a regra dada.
d) Maior tempo dos 25\% mais rápidos: 17 minutos.
e) Histograma: barras contíguas nos intervalos [9,13],[14,18],[19,23],[24,28],[29,33],[34,38] com alturas (frequências) 4,5,8,7,7,5 respectivamente (ou as mesmas alturas em porcentagem 11{,}11\%,13{,}89\%,22{,}22\%,19{,}44\%,19{,}44\%,13{,}89\%).

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