Exercício 9 - Você é o responsável por uma etapa de um processo produtivo e decidiu analisar o tempo (em minutos) de execução pela equipe do turno da manhã de uma determinada tarefa. Os tempos estão apresentados a seguir:
12
26
9
15
19
28
24
20
35
14
25
29
32
36
38
27
19
29
15
34
30
29
23
38
26
29
14
17
10
21
31
11
19
20
25
23
Para que possa tomar certas decisões, você pede:
a) Organize esses valores em uma distribuição de frequência adequada;
b) Qual a proporção de funcionários com tempo de no mínimo 24 minutos?
c) Se apenas
dos funcionários tiverem tempo igual ou superior a 29 minutos eles não precisarão fazer hora extra. Os funcionários da manhã precisarão fazer hora extra?
d) Qual o maior tempo dos
funcionários mais rápidos?
e) Construa o histograma da distribuição.
| 12 | 26 | 9 | 15 | 19 | 28 | 24 | 20 | 35 |
| 14 | 25 | 29 | 32 | 36 | 38 | 27 | 19 | 29 |
| 15 | 34 | 30 | 29 | 23 | 38 | 26 | 29 | 14 |
| 17 | 10 | 21 | 31 | 11 | 19 | 20 | 25 | 23 |
a) Organize esses valores em uma distribuição de frequência adequada;
b) Qual a proporção de funcionários com tempo de no mínimo 24 minutos?
c) Se apenas
d) Qual o maior tempo dos
e) Construa o histograma da distribuição.
Passo 1
O enunciado fornece os tempos (em minutos) de execução de uma tarefa por todos os funcionários do turno da manhã, são
observações listadas em tabela. As perguntas são:
- (a) Organizar esses valores em uma distribuição de frequência adequada (ou seja: classes, frequências absolutas e relativas).
- (b) Qual a proporção (fração/porcentagem) de funcionários com tempo de no mínimo
minutos? - (c) Considerando a regra “se apenas
dos funcionários tiverem tempo min, eles não precisarão fazer hora extra”, os funcionários da manhã precisarão fazer hora extra? - (d) Qual o maior tempo entre os
funcionários mais rápidos? - (e) Construir o histograma da distribuição (descrever como desenhar / quais barras colocar).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Lista dos tempos (totalizando
valores):
.
Passo 2
Vou preparar a distribuição de frequência. Primeiro uma palavrinha didática sobre escolhas:
- O alcance (range) da amostra e a escolha do número de classes (ou da largura das classes) determinam a tabela de frequência. Uma escolha simples e prática para testes/provas é usar classes com largura uniforme e arredondada (por exemplo
minutos), o que facilita contagem manual e desenho do histograma. - Cálculo do range:
- Se uso largura de classe
então o número aproximado de classes será ou seja, escolho classes de largura . Isso dá intervalos fáceis: .
Observação sobre limites: adotarei intervalos fechados nas extremidades por simplicidade (por exemplo,inclui ), mas como não há valores exatamente nas fronteiras superiores (13,18,23,28,33) não há ambiguidade nos dados.
Passo 3
Agora conto quantos valores caem em cada classe (passo a passo):
- Classe
: contém . Frequência absoluta . - Classe
: contém . Frequência absoluta . - Classe
: contém . Frequência absoluta . - Classe
: contém . Frequência absoluta . - Classe
: contém . Frequência absoluta . - Classe
: contém . Frequência absoluta .
Cheque de consistência: somando
, que é o total
. Tudo confere.
Agora calculo frequências relativas (proporções) e percentuais: para cada classe
a frequência relativa é
.
-
(ou ). -
(ou ). -
(ou ). -
(ou ). -
(ou ). -
(ou ).
Passo 4
Resposta da parte (b): proporção com tempo de no mínimo
minutos.
- “Tempo de no mínimo
” significa . Conto os valores : pertencem às classes , e . Soma das frequências . - Proporção =
(aproximadamente ).
Explicação didática: peguei os dados das classes que cobrem todos os valorese somei as frequências, depois dividi pelo total .
Passo 5
Resposta da parte (c): comparar proporção de funcionários com tempo
com
.
- Contagem de valores
: esses são os elementos na classe (7 observações) e (5 observações), total . - Proporção =
(ou ). - A regra mencionada fala de
. Como , a condição “apenas têm min” não se aplica: na realidade mais de têm min. Portanto, segundo a interpretação natural da regra (se ao menos estão , não haverá hora extra), os funcionários da manhã NÃO precisarão fazer hora extra, porque .
Observação: a interpretação da regra é que atingir ou ultrapassarde funcionários com tempo evita hora extra; como a amostra tem , a condição está satisfeita.
Passo 6
Resposta da parte (d): maior tempo entre os
funcionários mais rápidos.
- “Funcionários mais rápidos” têm os menores tempos.
de corresponde a funcionários. - Ordenando os tempos em ordem crescente (para checar):
. - Os
mais rápidos são os primeiros dessa lista: último (maior) entre esses é . Logo o maior tempo entre os mais rápidos é minutos.
Comentário metodológico: uma alternativa seria usar definição de percentil com interpolação (posição), mas a pergunta pediu explicitamente “maior tempo dos mais rápidos”, que corresponde diretamente ao nono menor valor quando é inteiro.
Passo 7
Parte (e) — como construir o histograma (instruções claras e o que deve aparecer).
- Usar no eixo horizontal (x) os intervalos de classe escolhidos:
. Cada barra ocupa um intervalo contínuo (sem espaços entre barras). - Largura de cada barra:
minutos (ou proporcional no desenho). - Altura de cada barra: use a frequência absoluta (ou frequência relativa) como altura. Aqui as alturas (frequências absolutas) são, por classe,
. - Exemplo de escala do eixo vertical: de
a com marcações em (ou de a se usar frequência relativa). - Etiquetas: em cada barra escrever a frequência (por exemplo, sobre a barra
escrever “8” ou “22,22%”). - Aparência: barras adjacentes (sem espaçamento) porque os dados são contínuos em classes. Se preferir mostrar densidade (quando classes tivessem larguras diferentes) dividir frequência por largura da classe; aqui todas têm mesma largura, então altura proporcional à frequência já funciona.
Resumo prático para desenhar: desenhar 6 barras com bases nos intervalos acima e alturasrespectivamente; rotular eixos: “Tempo (min)” no x e “Frequência (número de funcionários)” no y.
Resposta
a) Distribuição de frequência (classes,
, frequência relativa):
:
,
(
)
:
,
(
)
:
,
(
)
:
,
(
)
:
,
(
)
:
,
(
)
b) Proporção com tempo
:
(aprox.
).
c) Proporção com tempo
:
(aprox.
). Como
, os funcionários da manhã NÃO precisarão fazer hora extra segundo a regra dada.
d) Maior tempo dos
mais rápidos:
minutos.
e) Histograma: barras contíguas nos intervalos
com alturas (frequências)
respectivamente (ou as mesmas alturas em porcentagem
).