Seja M=(5,-3,1). Determine N de modo que o vetor \overrightarrow{M N} tenha mesma direção, sentido e módulo igual a 5|\vec{w}|, onde \vec{w}=\langle 0,2,-1\rangle.

Passo 1

O enunciado dá o ponto M=(5,-3,1) e o vetor \vec{w}=\langle 0,2,-1\rangle. Queremos um ponto N tal que o vetor \overrightarrow{MN} tenha a mesma direção e sentido de \vec{w} e módulo igual a 5\lvert\vec{w}\rvert. Para isso, vamos usar os conceitos de magnitude de vetor, vetor unitário (direção) e soma de vetores (posição de N).

Passo 2

Calcular a magnitude de \vec{w}.
\lvert\vec{w}\rvert = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}.

Passo 3

Determinar o vetor unitário na direção de \vec{w}, isto é,
\vec{u} = \frac{\vec{w}}{\lvert\vec{w}\rvert} = \frac{1}{\sqrt{5}}\langle 0,2,-1\rangle.

Passo 4

Escalar \vec{u} para ter módulo 5\lvert\vec{w}\rvert = 5\sqrt{5}. Como \vec{u} já tem módulo 1, basta multiplicar por 5\sqrt{5}:
\overrightarrow{MN} = 5\sqrt{5}\,\vec{u} = 5\sqrt{5}\,\frac{1}{\sqrt{5}}\langle 0,2,-1\rangle = 5\langle 0,2,-1\rangle = \langle 0,10,-5\rangle.

Passo 5

Encontrar N somando o vetor \overrightarrow{MN} a M:
N = M + \overrightarrow{MN} = (5,-3,1) + (0,10,-5) = (5,7,-4).

Resposta

N = (5,7,-4).

Exercícios relacionados