Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que precisamos entregar:
- A equação é homogênea e envolve derivadas até a quarta ordem de
. - Precisamos determinar a família de soluções (solução geral)
, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Qual é a ideia para resolver esse tipo de equação? Vou explicar devagarinho: quando temos uma equação linear homogênea com coeficientes constantes (como aqui), uma técnica padrão é testar soluções da forma
, onde
é um número (pode ser real ou complexo). Por quê? Porque a derivada de
é sempre outro múltiplo de
:
. Então, se substituirmos
na equação, o fator comum
pode ser dividido e sobra uma equação polinomial em
. Essa equação polinomial é chamada de equação característica. As raízes
da característica determinam as formas das soluções.
Passo 3
Vou aplicar a estratégia: suponha
. Então
Substituindo na equação diferencial e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica
Agora vamos fatorar esse polinômio. Primeiro fator comum
:
O trinômio quadrático fatora como
Logo a fatoração completa é
Passo 4
Das fatorações temos as raízes da equação característica:
Agora a regra (explico devagar):
- Se
é uma raiz simples (multiplicidade ), então é uma solução independente. - Se
é uma raiz real com multiplicidade , então as soluções independentes associadas são
No nosso caso, para
com multiplicidade
as soluções associadas são
e
. Para
temos
e para
temos
.
Passo 5
Portanto um conjunto fundamental de soluções independentes é
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear desses quatro elementos com constantes arbitrárias. Escrevendo com constantes
,
Aqui
são constantes reais (ou complexas, se quisermos soluções complexas), determinadas por condições iniciais se houverem.
Passo 6
Para ficar tranqui: faço uma verificação rápida (só pra ter certeza). Calculo derivadas de
:
Substituindo na expressão
e agrupando termos em
,
e termos polinomiais em
, obtemos para os coeficientes:
- Em
: . - Em
: . - Os termos vindos de
e também satisfazem (derivadas de ordem são zero ou constantes que cancelam).
Portanto a combinação anula a expressão, confirmando que a solução geral está correta.
Passo 7
Resumo final rápido e um empurrãozinho: para provas, decore a estratégia — substituição
, achar a equação característica, fatorar, identificar multiplicidades, montar as soluções com fatores
quando houver multiplicidade. Respira fundo, resolve assim que aparece coeficientes constantes e ode homogênea. Vai dar certo!