Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{(4)}-3 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{(4)} - 3y^{\prime\prime\prime} + 2y^{\prime\prime} = 0.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • A equação é homogênea e envolve derivadas até a quarta ordem de y.
  • Precisamos determinar a família de soluções (solução geral) y(x), com constantes arbitrárias.

Passo 2

Qual é a ideia para resolver esse tipo de equação? Vou explicar devagarinho: quando temos uma equação linear homogênea com coeficientes constantes (como aqui), uma técnica padrão é testar soluções da forma y(x)=e^{r x}, onde r é um número (pode ser real ou complexo). Por quê? Porque a derivada de e^{r x} é sempre outro múltiplo de e^{r x}: \dfrac{d^k}{dx^k}e^{r x}=r^k e^{r x}. Então, se substituirmos y=e^{r x} na equação, o fator comum e^{r x} pode ser dividido e sobra uma equação polinomial em r. Essa equação polinomial é chamada de equação característica. As raízes r da característica determinam as formas das soluções.

Passo 3

Vou aplicar a estratégia: suponha y(x)=e^{r x}. Então
y^{(4)}=r^4 e^{r x},\quad y^{\prime\prime\prime}=r^3 e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica
r^4 - 3r^3 + 2r^2 = 0.
Agora vamos fatorar esse polinômio. Primeiro fator comum r^2:
r^2(r^2 - 3r + 2) = 0.
O trinômio quadrático fatora como
r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2).
Logo a fatoração completa é
r^2(r-1)(r-2)=0.

Passo 4

Das fatorações temos as raízes da equação característica:
r=0 \quad\text{(multiplicidade 2)},\qquad r=1 \quad\text{(multiplicidade 1)},\qquad r=2 \quad\text{(multiplicidade 1)}.
Agora a regra (explico devagar):
  • Se r é uma raiz simples (multiplicidade 1), então e^{r x} é uma solução independente.
  • Se r é uma raiz real com multiplicidade m, então as m soluções independentes associadas são
e^{r x},\; x e^{r x},\; x^2 e^{r x},\;\ldots,\; x^{m-1} e^{r x}.
No nosso caso, para r=0 com multiplicidade 2 as soluções associadas são e^{0\cdot x}=1 e x e^{0\cdot x}=x. Para r=1 temos e^{x} e para r=2 temos e^{2x}.

Passo 5

Portanto um conjunto fundamental de soluções independentes é
1,\quad x,\quad e^{x},\quad e^{2x}.
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear desses quatro elementos com constantes arbitrárias. Escrevendo com constantes C_1,C_2,C_3,C_4,
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot x + C_{3} e^{x} + C_{4} e^{2x}.
Aqui C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes reais (ou complexas, se quisermos soluções complexas), determinadas por condições iniciais se houverem.

Passo 6

Para ficar tranqui: faço uma verificação rápida (só pra ter certeza). Calculo derivadas de y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}e^{2x}:
y' = C_{2} + C_{3}e^{x} + 2C_{4}e^{2x},
y'' = C_{3}e^{x} + 4C_{4}e^{2x},
y^{(3)} = C_{3}e^{x} + 8C_{4}e^{2x},
y^{(4)} = C_{3}e^{x} + 16C_{4}e^{2x}.
Substituindo na expressão y^{(4)}-3y^{(3)}+2y^{\prime\prime} e agrupando termos em e^{x}, e^{2x} e termos polinomiais em x, obtemos para os coeficientes:
  • Em e^{x}: C_{3}-3C_{3}+2C_{3}=0.
  • Em e^{2x}: 16C_{4}-3\cdot 8C_{4}+2\cdot 4C_{4}=16C_{4}-24C_{4}+8C_{4}=0.
  • Os termos vindos de C_{1} e C_{2}x também satisfazem (derivadas de ordem \ge2 são zero ou constantes que cancelam).
    Portanto a combinação anula a expressão, confirmando que a solução geral está correta.

Passo 7

Resumo final rápido e um empurrãozinho: para provas, decore a estratégia — substituição y=e^{r x}, achar a equação característica, fatorar, identificar multiplicidades, montar as soluções com fatores x^k e^{r x} quando houver multiplicidade. Respira fundo, resolve assim que aparece coeficientes constantes e ode homogênea. Vai dar certo!

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}e^{2x}

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