Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior homogênea
Informações dadas:
Não há condições iniciais. A tarefa é encontrar a solução geral
, ou seja, a família de todas as soluções da equação.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): vamos procurar soluções da forma exponencial
. Por que isso? Porque ao derivar
aparece sempre um fator
multiplicando
, então substituindo na equação obtemos um fator comum
que pode ser cancelado, restando um polinômio em
. Esse polinômio é chamado de polinômio característico e suas raízes determinam os expoentes que geram as soluções. Para fixar ideia: se
, então
Passo 3
Substituindo
na equação e cancelando o fator
(que nunca é zero) obtemos o polinômio característico
Agora precisamos resolver essa equação algébrica para
. Testando raízes racionais simples (divisores de
), verificamos
logo
é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por
(ou usando divisão sintética) obtemos
O quadrático
é um quadrado perfeito:
Portanto as raízes do polinômio característico são
Passo 4
Regra para montar a solução geral (explicação didática): quando uma raiz
do polinômio característico é simples (multiplicidade 1), ela gera uma solução
. Quando uma raiz
tem multiplicidade
, ela gera
soluções linearmente independentes do tipo
Intuição rápida: multiplicidade significa que ao aplicar o operador diferencial correspondente obtemos anulações adicionais; multiplicar por potências de
dá funções novas que continuam sendo soluções e tornam o conjunto independente linearmente.
Passo 5
Aplicando a regra ao nosso caso: a raiz
fornece a solução
. A raiz
com multiplicidade
fornece as soluções
e
. Assim três soluções linearmente independentes são
e a combinação linear geral (solução geral) é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida (controle de qualidade): podemos checar que cada termo satisfaz a equação característica. Por exemplo, para
temos
. Para
temos
. Para o caso repetido, uma verificação direta em
(calculando
e substituindo) também dá zero, confirmando que
é solução. Isso confirma que a combinação linear com três constantes abrange todas as soluções.