Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior homogênea
y^{\prime\prime\prime}-5y^{\prime\prime}+8y^{\prime}-4y=0.
Informações dadas:
\text{equação: }y^{\prime\prime\prime}-5y^{\prime\prime}+8y^{\prime}-4y=0.çã
Não há condições iniciais. A tarefa é encontrar a solução geral y(x), ou seja, a família de todas as soluções da equação.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): vamos procurar soluções da forma exponencial \;y(x)=e^{r x}\;. Por que isso? Porque ao derivar e^{r x} aparece sempre um fator r multiplicando e^{r x}, então substituindo na equação obtemos um fator comum e^{r x} que pode ser cancelado, restando um polinômio em r. Esse polinômio é chamado de polinômio característico e suas raízes determinam os expoentes que geram as soluções. Para fixar ideia: se y=e^{r x}, então
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x},\qquad y^{\prime\prime\prime} = r^{3} e^{r x}.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} na equação e cancelando o fator e^{r x} (que nunca é zero) obtemos o polinômio característico
r^{3}-5r^{2}+8r-4=0.
Agora precisamos resolver essa equação algébrica para r. Testando raízes racionais simples (divisores de 4), verificamos
\text{para }r=1:\quad 1-5+8-4=0,
logo r=1 é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por (r-1) (ou usando divisão sintética) obtemos
r^{3}-5r^{2}+8r-4=(r-1)(r^{2}-4r+4).
O quadrático r^{2}-4r+4 é um quadrado perfeito:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}.
Portanto as raízes do polinômio característico são
r=1\quad(\text{multiplicidade }1),\qquad r=2\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 4

Regra para montar a solução geral (explicação didática): quando uma raiz r do polinômio característico é simples (multiplicidade 1), ela gera uma solução e^{r x}. Quando uma raiz r tem multiplicidade m>1, ela gera m soluções linearmente independentes do tipo
e^{r x},\; x e^{r x},\; x^{2} e^{r x},\;\dots,\; x^{m-1} e^{r x}.
Intuição rápida: multiplicidade significa que ao aplicar o operador diferencial correspondente obtemos anulações adicionais; multiplicar por potências de x dá funções novas que continuam sendo soluções e tornam o conjunto independente linearmente.

Passo 5

Aplicando a regra ao nosso caso: a raiz r=1 fornece a solução e^{x}. A raiz r=2 com multiplicidade 2 fornece as soluções e^{2x} e x e^{2x}. Assim três soluções linearmente independentes são
e^{x},\qquad e^{2x},\qquad x e^{2x},
e a combinação linear geral (solução geral) é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}x e^{2x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Verificação rápida (controle de qualidade): podemos checar que cada termo satisfaz a equação característica. Por exemplo, para r=1 temos 1^{3}-5\cdot1^{2}+8\cdot1-4=0. Para r=2 temos 8-20+16-4=0. Para o caso repetido, uma verificação direta em y(x)=x e^{2x} (calculando y',y'',y''' e substituindo) também dá zero, confirmando que x e^{2x} é solução. Isso confirma que a combinação linear com três constantes abrange todas as soluções.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}x e^{2x}

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