Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
y^prime=e^x-y

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y' = e^x - y . Nesta questão, estamos lidando com equações diferenciais, que são usadas para modelar situações onde uma quantidade varia em relação a outra, como tempo ou espaço. Para resolver essa equação, vamos utilizar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma que possamos integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis y e x :
dydx = e^x - y
Podemos reescrever o lado direito da equação usando propriedades dos exponentes:
dydx = e^x cdot e^-y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por e^y e por dx :
e^y , dy = e^x , dx
Dessa forma, conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x .

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral e^y , dy = integral e^x , dx

Passo 5

Calculando as integrais, temos:
e^y = e^x + C
onde C é a constante de integração que aparece após a integração.

Passo 6

Para expressar a solução geral em termos de y , vamos resolver a equação para y . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
y = ln(e^x + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' = e^x - y é:
y = ln(e^x + C)

Exercícios relacionados