Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Nesta questão, estamos lidando com equações diferenciais, que são usadas para modelar situações onde uma quantidade varia em relação a outra, como tempo ou espaço. Para resolver essa equação, vamos utilizar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a reorganizar a equação de forma que possamos integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis
e
:
Podemos reescrever o lado direito da equação usando propriedades dos exponentes:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
e por
:
Dessa forma, conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
Passo 5
Calculando as integrais, temos:
onde
é a constante de integração que aparece após a integração.
Passo 6
Para expressar a solução geral em termos de
, vamos resolver a equação para
. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: