Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
integral tg(x) d x=-ln (cos (x))+C=ln (sec (x))+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra verificar se duas expressões são de fato primitivas (ou antiderivadas) da função tangente, que é tg(x). Pra resolver isso, vamos usar o conceito de primitiva na matemática, que basicamente é encontrar uma função cuja derivada seja a função dada. Então, vamos precisar lembrar como derivar funções e como encontrar primitivas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função F(x) é primitiva de f(x). Isso quer dizer que a derivada de F(x) é igual a f(x), ou seja, F'(x) = f(x). No nosso caso, queremos verificar se as expressões dadas são primitivas de tg(x).

Passo 3

Vamos começar examinando a primeira expressão: -ln (cos (x)) + C. Para verificar se essa é uma primitiva de tg(x), vamos derivar essa função e ver se obtemos tg(x).

Passo 4

Derivando -ln (cos (x)) + C em relação a x:
ddx ( -ln (cos (x)) ) = -1cos(x) cdot (-sin(x)) = sin(x)cos(x) = tg(x)
A derivada realmente resultou em tg(x), então a primeira expressão está correta.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda expressão: ln (sec (x)) + C. Sabemos que sec(x) é a função recíproca de cos(x), ou seja, sec(x) = 1cos(x). Então, podemos reescrever a expressão como ln ( 1cos(x) ).

Passo 6

Simplificando a expressão:
ln ( 1cos(x) ) = -ln (cos(x))
Ou seja, ln (sec (x)) = -ln (cos(x)). Já verificamos no Passo 4 que -ln (cos(x)) + C é uma primitiva de tg(x), então ln (sec (x)) + C também é uma primitiva válida.

Resposta

Sim, ambas as expressões -ln (cos (x)) + C e ln (sec (x)) + C são primitivas corretas da função tg(x).

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