Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra verificar se duas expressões são de fato primitivas (ou antiderivadas) da função tangente, que é
. Pra resolver isso, vamos usar o conceito de primitiva na matemática, que basicamente é encontrar uma função cuja derivada seja a função dada. Então, vamos precisar lembrar como derivar funções e como encontrar primitivas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função
é primitiva de
. Isso quer dizer que a derivada de
é igual a
, ou seja,
. No nosso caso, queremos verificar se as expressões dadas são primitivas de
.
Passo 3
Vamos começar examinando a primeira expressão:
. Para verificar se essa é uma primitiva de
, vamos derivar essa função e ver se obtemos
.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
A derivada realmente resultou em
, então a primeira expressão está correta.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda expressão:
. Sabemos que
é a função recíproca de
, ou seja,
. Então, podemos reescrever a expressão como
.
Passo 6
Simplificando a expressão:
Ou seja,
. Já verificamos no Passo 4 que
é uma primitiva de
, então
também é uma primitiva válida.
Resposta
Sim, ambas as expressões
e
são primitivas corretas da função
.