Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
y^prime-y=2 x e^x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y' - y = 2x e^x^2+x . Esse tipo de problema pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para encontrar soluções de equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação na forma padrão: y' + P(x)y = Q(x) . No nosso caso, temos:
P(x) = -1
Q(x) = 2x e^x^2+x
O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando a integral de P(x) :
integral P(x) dx = integral -1 , dx = -x
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^-x
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-x y' - e^-x y = 2x e^x^2+x e^-x
Simplificando o lado direito:
e^-x y' - e^-x y = 2x e^x^2
Agora, a equação fica mais fácil de resolver.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto y mu(x) :
ddx (y e^-x) = 2x e^x^2
Isso acontece devido à escolha do fator integrante. Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar y .

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx (y e^-x) dx = integral 2x e^x^2 dx
O lado esquerdo simplifica para:
y e^-x = integral 2x e^x^2 dx + C
Agora, resolvemos a integral do lado direito.

Passo 7

Para integrar integral 2x e^x^2 dx , fazemos uma substituição simples:
u = x^2
du = 2x dx
Então, a integral se torna:
integral e^u du = e^u + C = e^x^2 + C
Substituindo de volta, temos:
y e^-x = e^x^2 + C

Passo 8

Finalmente, isolamos y multiplicando ambos os lados por e^x :
y = e^x e^x^2 + C e^x
Simplificando os expoentes:
y = e^x^2 + x + C e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^x^2 + x + C e^x
onde C é uma constante arbitrária.

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