Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Esse tipo de problema pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para encontrar soluções de equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação na forma padrão:
. No nosso caso, temos:
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular isso.
Passo 3
Calculando a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Agora, a equação fica mais fácil de resolver.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso acontece devido à escolha do fator integrante. Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Agora, resolvemos a integral do lado direito.
Passo 7
Para integrar
, fazemos uma substituição simples:
Então, a integral se torna:
Substituindo de volta, temos:
Passo 8
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.