Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
integral cos (7 x) d x=sen(7 x)+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, mais especificamente de integração, que faz parte do estudo das primitivas ou antiderivadas. A gente precisa verificar se a integral apresentada está correta usando o conceito de primitiva. Ou seja, vamos checar se a antiderivada da função cos(7x) realmente é sen(7x) + c.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. Se a gente tem uma função f(x), uma antiderivada dela é uma função F(x) tal que F'(x) = f(x). Em outras palavras, derivando F(x), a gente volta para f(x).
No caso, queremos ver se a antiderivada de cos(7x) é sen(7x) + c.

Passo 3

Para verificar isso, a gente vai derivar a função sen(7x) + c e ver se a derivada é igual a cos(7x).
Vamos lá: a derivada de sen(7x) em relação a x é cos(7x) multiplicado pela derivada interna, que é 7. Isso porque, pela regra da cadeia, se tivermos uma função composta como sen(u) onde u=7x, a derivada será cos(u) cdot u', ou seja, cos(7x) cdot 7.
Então, a derivada de sen(7x) é 7 cos(7x). E a derivada de uma constante c é zero.

Passo 4

Agora, comparando com a função original que estamos integrando, que é cos(7x), vemos que:
ddx ( sen(7x) + c ) = 7 cos(7x)
Isso quer dizer que a derivada da função dada é 7 vezes a função que queremos integrar, ou seja, não é exatamente igual a cos(7x).

Passo 5

Para que a antiderivada esteja correta, a derivada da função antiderivada deveria ser exatamente cos(7x). Como vimos, a derivada de sen(7x) + c é 7 cos(7x), ou seja, tem um fator extra de 7.

Resposta

Não, a integral não está correta. A antiderivada correta de cos(7x) é 17 sen(7x) + c.

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