Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, mais especificamente de integração, que faz parte do estudo das primitivas ou antiderivadas. A gente precisa verificar se a integral apresentada está correta usando o conceito de primitiva. Ou seja, vamos checar se a antiderivada da função
realmente é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. Se a gente tem uma função
, uma antiderivada dela é uma função
tal que
. Em outras palavras, derivando
, a gente volta para
.
No caso, queremos ver se a antiderivada de
é
.
Passo 3
Para verificar isso, a gente vai derivar a função
e ver se a derivada é igual a
.
Vamos lá: a derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada interna, que é 7. Isso porque, pela regra da cadeia, se tivermos uma função composta como
onde
, a derivada será
, ou seja,
.
Então, a derivada de
é
. E a derivada de uma constante
é zero.
Passo 4
Agora, comparando com a função original que estamos integrando, que é
, vemos que:
Isso quer dizer que a derivada da função dada é 7 vezes a função que queremos integrar, ou seja, não é exatamente igual a
.
Passo 5
Para que a antiderivada esteja correta, a derivada da função antiderivada deveria ser exatamente
. Como vimos, a derivada de
é
, ou seja, tem um fator extra de 7.
Resposta
Não, a integral não está correta. A antiderivada correta de
é
.