Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
integral e^k x d x=e^k xk+c

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A questão pede para a gente usar o conceito de primitiva (também conhecida como antiderivada) para verificar se a integral integral e^k x dx = e^k xk + c está correta. Então, vamos trabalhar com integrais e antiderivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma primitiva. A primitiva de uma função é outra função cuja derivada nos dá de volta a função original. Ou seja, se F(x) é uma primitiva de f(x), então F'(x) = f(x). No contexto das integrais, encontrar uma antiderivada é exatamente o que fazemos ao calcular uma integral indefinida.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a integral dada está correta usando a ideia da primitiva. A integral proposta é integral e^k x dx = e^k xk + c. Para confirmar isso, vamos derivar e^k xk + c e ver se obtemos e^k x.
Vamos derivar passo a passo:
  1. Derivada da constante c é 0.
  2. Derivada de e^k xk:
    • Usamos a regra da cadeia. A derivada de e^k x em relação a x é k e^k x.
    • Multiplicamos pela constante 1k: 1k cdot k e^k x = e^k x.
Então, a derivada de e^k xk + c é exatamente e^k x, que é o integrando original.

Resposta

A integral está correta! integral e^k x dx = e^k xk + c é realmente uma primitiva válida de e^k x.

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