Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Encontre a solução geral da equação diferencial.
(1+2 y) d y+y \ln x d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1+2y),dy + yln x,dx = 0
e pede a solução geral. Aqui vamos usar o método de separação de variáveis (ou notar que, ao dividir por y, a equação fica exata).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por y (supondo yneq0), obtemos
1+2yy,dy + ln x,dx = 0
ou seja
l(tfrac1y+2r),dy + ln x,dx = 0

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente. De um lado, em y:
integrall(tfrac1y+2r),dy = integral tfrac1y,dy + integral 2,dy = ln|y| + 2y
De outro lado, em x:
integral ln x,dx = xln x - x
Somando as integrais e igualando a uma constante C, temos
ln|y| + 2y + l(xln x - xr) = C

Resposta

boxedln|y| + 2y + xln x - x = C,
onde C é a constante de integração.

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