Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Encontre a solução geral da equação diferencial.
y^{\prime} \cos x \cdot \operatorname{sec} ^{2} y+1=\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{tg} y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y'cos x;sec^2y ;+;1 ;=;sin x;tan y
O conteúdo aqui é reconhecimento de que aparece sec^2y junto de y', o que sugere a substituição u=tan y, pois dfracddx(tan y)=y'sec^2y.

Passo 2

Fazendo u=tan y temos
u'=ddx(tan y)=y'sec^2y
Substituindo em ,y'cos x;sec^2y+1=sin x;tan y obtemos
u'cos x +1 = sin x;u

Passo 3

Colocamos essa equação na forma padrão de uma linear em u. Subtraindo sin x,u e dividindo por cos x, vem
u' - (tan x),u = -sec x

Passo 4

O fator integrante é
mu(x)=expl(-integral tan x,dxr) =expl(ln|cos x|r)=cos x
Multiplicando a equação por cos x
cos x,u' - sin x,u = -1 Longrightarrow ddxl(ucos xr)=-1
Integrando em x,
ucos x = -x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembre que u=tan y. Logo
tan y;cos x = -x + C Long<=ftrightarrow cos x,tan y + x = C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
boxedcos x;tan y + x = C,
onde C é constante de integração.

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