Supondo que a função diferenciável z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada. Determinar d zd x e d zd y :
x y z=cos (x+y+z)

Passo 1

Temos a função diferenciável z=f(x,y) definida implicitamente por
x,y,z = cosl(x+y+zr)
O que queremos é aplicar a diferenciação implícita para achar partial zpartial x (mantendo y constante) e partial zpartial y (mantendo x constante).

Passo 2

Diferenciando em relação a x e lembrando que z depende de x, obtemos no lado esquerdo, usando regra do produto em x,y,z:
partialpartial x(x,y,z) = y,z + x,y,partial zpartial x
No lado direito,
partialpartial xl[cos(x+y+z)r] = -sin(x+y+z),l(1 + tfracpartial zpartial xr)
Igualando as duas expressões:
y,z + x,y,zx = -sin(x+y+z) - sin(x+y+z),zx
Agrupando os termos com zx:
x,y,zx + sin(x+y+z),zx = -sin(x+y+z) - y,z,
zxl(x,y + sin(x+y+z)r) = -l(y,z + sin(x+y+z)r)
Logo,
partial zpartial x = -y,z + sin(x+y+z)x,y + sin(x+y+z)

Passo 3

Agora diferenciando em relação a y (mantendo x constante), no lado esquerdo:
partialpartial y(x,y,z) = x,z + x,y,partial zpartial y
No lado direito:
partialpartial yl[cos(x+y+z)r] = -sin(x+y+z),l(1 + tfracpartial zpartial yr)
Igualando:
x,z + x,y,zy = -sin(x+y+z) - sin(x+y+z),zy,
x,y,zy + sin(x+y+z),zy = -sin(x+y+z) - x,z,
zyl(x,y + sin(x+y+z)r) = -l(x,z + sin(x+y+z)r),
partial zpartial y = -x,z + sin(x+y+z)x,y + sin(x+y+z)

Resposta

partial zpartial x = -y,z + sin(x+y+z)x,y + sin(x+y+z), partial zpartial y = -x,z + sin(x+y+z)x,y + sin(x+y+z)

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