Questão. (20 pontos) Use fator integrante para achar a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método do fator integrante. O problema pede para encontrarmos a solução geral da equação:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares, e vamos precisar aplicar o conceito de fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
No nosso caso, a equação original é
. Para encaixar na forma padrão, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando, a esquerda da equação se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que:
Então, juntando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.