^a Questão. (20 pontos) Use fator integrante para achar a solução geral da EDO
y^prime-y=1+3 sen t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método do fator integrante. O problema pede para encontrarmos a solução geral da equação:
y^prime - y = 1 + 3 sen t
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares, e vamos precisar aplicar o conceito de fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
y^prime + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, a equação original é y^prime - y = 1 + 3 sen t . Para encaixar na forma padrão, identificamos P(t) = -1 e Q(t) = 1 + 3 sen t .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) , que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = -1 :
mu(t) = e^integral -1 , dt = e^-t

Passo 4

Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por mu(t) :
e^-t y^prime - e^-t y = e^-t (1 + 3 sen t)
Simplificando, a esquerda da equação se torna a derivada do produto mu(t) y :
ddt (e^-t y) = e^-t (1 + 3 sen t)

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a t :
integral ddt (e^-t y) , dt = integral e^-t (1 + 3 sen t) , dt
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá:
e^-t y = integral e^-t (1 + 3 sen t) , dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
integral e^-t (1 + 3 sen t) , dt = integral e^-t , dt + 3 integral e^-t sen t , dt
A primeira integral é simples:
integral e^-t , dt = -e^-t
Para a segunda integral, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que:
integral e^-t sen t , dt = -12 e^-t (sen t + cos t)
Então, juntando tudo:
e^-t y = -e^-t + 3 ( -12 e^-t (sen t + cos t) ) + C
Simplificando:
e^-t y = -e^-t - 32 e^-t (sen t + cos t) + C

Passo 7

Agora, vamos isolar y multiplicando ambos os lados por e^t :
y = -1 - 32 (sen t + cos t) + C e^t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = -1 - 32 (sen t + cos t) + C e^t
Onde C é uma constante arbitrária.

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