Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Encontre a solução geral da equação diferencial.
\quad y^{\prime} \cdot e{x+y}=e{2 x-y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' ,e^x+y = e^2x - y
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é equação diferencial de variável separável, ou seja, podemos isolar y num lado e x no outro para integrar.

Passo 2

Reescrevendo y'=dydx e simplificando o expoente, temos
dydx = e^2x - ye^x + y = e^2x - y - x - y = e^x - 2y

Passo 3

Agora separamos as variáveis: todas as expressões em y de um lado e as de x do outro. Multiplicando em cruz, obtém-se
e^2y,dy = e^x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^2y,dy = integral e^x,dx
12e^2y = e^x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, escrevemos
e^2y = 2e^x + C1,
com C1=2C também constante arbitrária, e então
y = 12lnl(2e^x + C1r)

Resposta

A solução geral é
y(x) = 12lnl(2e^x + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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