Questäo. (30, pontos) Use o método dos coeficientes indeterminados para achar a soluçãn do P.V.I.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em:
- achar a solução geral da equação homogênea associada;
- supor uma forma para a solução particular
compatível com o termo forçante ; - determinar os constantes da solução geral usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea
Montamos a equação característica
e achamos as raízes
Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora, buscamos uma solução particular
para
Como o termo forçante é
e
não é raiz da característica, propomos
Calculamos as derivadas:
Substituindo na E.D.:
Daí
, logo
e
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Precisamos ajustar
às condições iniciais. Primeiro,
Agora calculamos
:
Em
:
Passo 5
Resolvendo o sistema
somando as equações: