^a Questäo. (30, pontos) Use o método dos coeficientes indeterminados para achar a soluçãn do P.V.I.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 x y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
y'' - 2y' - 3y = 3e^2x, y(0)=2,;y'(0)=1
É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em:
  1. achar a solução geral da equação homogênea associada;
  2. supor uma forma para a solução particular yp compatível com o termo forçante 3e^2x;
  3. determinar os constantes da solução geral usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
Montamos a equação característica
m^2 - 2m - 3 = 0
e achamos as raízes
m = 2 pm raiz4 +122 = 2 pm 42 ;Longrightarrow; m1 = 3,;m2 = -1
Logo, a solução geral homogênea é
yc = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular yp para
y'' - 2y' - 3y = 3e^2x
Como o termo forçante é 3e^2x e 2 não é raiz da característica, propomos
yp = A e^2x
Calculamos as derivadas:
yp' = 2A e^2x, yp'' = 4A e^2x
Substituindo na E.D.:
(4A) e^2x - 2(2A)e^2x -3(A)e^2x = (4A -4A -3A)e^2x = -3A e^2x stackrel!=3e^2x
Daí -3A = 3, logo
A = -1,
e
yp = -e^2x

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(x) = yc + yp = C1 e^3x + C2 e^-x - e^2x
Precisamos ajustar C1,C2 às condições iniciais. Primeiro,
y(0) = C1 + C2 -1 = 2 ;Longrightarrow; C1 + C2 = 3
Agora calculamos y'(x):
y'(x) = 3C1 e^3x - C2 e^-x - 2e^2x
Em x=0:
y'(0) = 3C1 - C2 -2 = 1 ;Longrightarrow; 3C1 - C2 = 3

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 3, 3C1 - C2 = 3,
somando as equações:
4C1 = 6 ;Longrightarrow; C1 = tfrac32, C2 = 3 - tfrac32 = tfrac32

Resposta

boxedy(x) = 32e^3x + 32e^-x - e^2x

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