Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas.
Se
e
divergem então
diverge para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta sobre séries numéricas e suas combinações lineares: temos duas séries
e
que ambas divergem, e queremos saber se para todo par de escalares
a série
também diverge. O conteúdo envolvido é a linearidade de somatório de séries e o que acontece quando aplicamos essa linearidade a séries divergentes.
Passo 2
Lembremos que a propriedade de linearidade de séries afirma: “se
e
convergem, então para quaisquer
a série
converge.” Porém, essa propriedade não faz nenhuma afirmação quando as séries originais divergam: não existe um teorema geral dizendo que combinação linear de séries divergentes diverga sempre.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo. Escolhemos
Então
ambas divergem (uma para
e outra para
). Mas, se tomarmos
e
, a combinação fica
logo
que é uma série convergente.
Passo 4
Esse exemplo mostra que, apesar de
e
divergirem, existe pelo menos um par
— aqui
— tal que
converge. Logo a afirmação “para todo
a série diverge” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, com
,
e
, temos
e
divergentes, mas
que converge.