Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas.
Se sum an e sum bn divergem então sum alpha(an)+sum beta(bn) diverge para todo alpha, beta in R.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre séries numéricas e suas combinações lineares: temos duas séries sum an e sum bn que ambas divergem, e queremos saber se para todo par de escalares alpha,betainR a série
sumn=1^infty l(alpha an + beta bnr)
também diverge. O conteúdo envolvido é a linearidade de somatório de séries e o que acontece quando aplicamos essa linearidade a séries divergentes.

Passo 2

Lembremos que a propriedade de linearidade de séries afirma: “se sum an e sum bn convergem, então para quaisquer alpha,beta a série sum(alpha an+beta bn) converge.” Porém, essa propriedade não faz nenhuma afirmação quando as séries originais divergam: não existe um teorema geral dizendo que combinação linear de séries divergentes diverga sempre.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo. Escolhemos
an = 1, bn = -1,para todo ninN
Então
sumn=1^infty an = 1+1+1+cdotse sumn=1^infty bn = -1-1-1-cdots
ambas divergem (uma para +infty e outra para -infty). Mas, se tomarmos alpha=1 e beta=1, a combinação fica
alpha an + beta bn = 1cdot1 + 1cdot(-1) = 0,
logo
sumn=1^infty l(alpha an + beta bnr) = sumn=1^infty 0 = 0,
que é uma série convergente.

Passo 4

Esse exemplo mostra que, apesar de sum an e sum bn divergirem, existe pelo menos um par (alpha,beta) — aqui (1,1) — tal que sum(alpha an + beta bn) converge. Logo a afirmação “para todo alpha,betainR a série diverge” é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, com an=1, bn=-1 e alpha=beta=1, temos sum an e sum bn divergentes, mas
sumn=1^infty l(an + bnr) = sumn=1^infty 0 = 0,
que converge.

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