Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Encontre a solução geral da equação diferencial.
x y^{\prime}+y=x e{x{2}}
Encontre a solução geral da equação diferencial.
x y^{\prime}+y=x e{x{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Esse é um caso de equação de primeira ordem e linear em
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
dividindo tudo por
(assumindo
):
Aqui identificamos
Passo 3
O fator integrante
é dado por
Para simplificar, tomamos
(escolhendo o ramo
ou
conforme o domínio).
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Logo a equação vira
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo fica simplesmente
. No direito, fazemos a substituição
,
, então
Acrescentamos a constante de integração
, obtendo
Passo 6
Por fim, isolamos
: