Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Encontre a solução geral da equação diferencial.
x y^{\prime}+y=x e{x{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,y' + y = x,e^x^2
Esse é um caso de equação de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
dividindo tudo por x (assumindo xneq0):
y' + 1x,y = e^x^2
Aqui identificamos
P(x)=1x, Q(x)=e^x^2

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral 1x,dxr) =expl(ln|x|r) =|x|
Para simplificar, tomamos mu(x)=x (escolhendo o ramo x>0 ou x<0 conforme o domínio).

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x)=x:
x,y' + y = x,e^x^2
O lado esquerdo é a derivada do produto x,y:
ddxl(x,yr)=x,y'+y
Logo a equação vira
ddxl(x,yr)=x,e^x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x,yr),dx =integral x,e^x^2,dx
No lado esquerdo fica simplesmente x,y. No direito, fazemos a substituição u=x^2, du=2x,dx, então
integral x,e^x^2,dx =12integral e^u,du =12,e^u =12,e^x^2
Acrescentamos a constante de integração C, obtendo
x,y = 12,e^x^2 + C

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y(x)=1xl(12,e^x^2+Cr) =e^x^22,x+Cx

Resposta

y(x)=e^x^22,x+Cx

Exercícios relacionados