Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
o conjunto das matrizes diagonais.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos decidir se
é subespaço de
. Pela definição de subespaço, precisamos checar três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
é escalar e então .
Passo 2
Provar que a matriz nula está em
.
A matriz nula tem todos os elementos diagonais iguais a zero e todos os elementos fora da diagonal também zero, isto é, é uma matriz diagonal. Logo
A matriz nula
Passo 3
Verificar a fechadura de
sob adição.
Sejam
Sejam
duas matrizes em
. Então
que também é uma matriz diagonal. Assim
Passo 4
Verificar a fechadura de
sob multiplicação escalar.
Seja um escalar e
Seja
Então
que é uma matriz diagonal. Logo
Resposta
O conjunto
das matrizes diagonais satisfaz as três propriedades (contém a matriz nula, é fechado sob soma e escalar), portanto
é subespaço de
.