Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=M_{n \times n} e W o conjunto das matrizes diagonais.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = M_{n\times n}
e o subconjunto
W = \{A\in M_{n\times n}\mid A\text{ é diagonal}\}.é
Queremos decidir se W é subespaço de V. Pela definição de subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in W.
  2. Se A,B\in W então A+B\in W.
  3. Se \lambda é escalar e A\in W então \lambda A\in W.

Passo 2

Provar que a matriz nula está em W.
A matriz nula \mathbf{0}_{n\times n} tem todos os elementos diagonais iguais a zero e todos os elementos fora da diagonal também zero, isto é, é uma matriz diagonal. Logo
\mathbf{0}_{n\times n}\in W.

Passo 3

Verificar a fechadura de W sob adição.
Sejam
A=\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}),\quad B=\operatorname{diag}(b_{11},b_{22},\dots,b_{nn})
duas matrizes em W. Então
A+B = \operatorname{diag}(a_{11}+b_{11},\,a_{22}+b_{22},\dots,a_{nn}+b_{nn}),
que também é uma matriz diagonal. Assim
A+B\in W.

Passo 4

Verificar a fechadura de W sob multiplicação escalar.
Seja \lambda um escalar e
A=\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn})\in W.
Então
\lambda A = \operatorname{diag}(\lambda a_{11},\,\lambda a_{22},\dots,\lambda a_{nn}),
que é uma matriz diagonal. Logo
\lambda A\in W.

Resposta

O conjunto W das matrizes diagonais satisfaz as três propriedades (contém a matriz nula, é fechado sob soma e escalar), portanto W é subespaço de V=M_{n\times n}.

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