Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=P_{2}(x) e W=\left\{p(x) \in P_{2}(x) \mid p(x)=a x^{2}, a \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado diz que V=P_{2}(x) é o espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, e que
W=\{\,p(x)\in P_{2}(x)\mid p(x)=a x^{2},\;a\in\mathbb{R}\}.
Queremos decidir se W é subespaço de V. Para isso, usamos a definição: um subconjunto W de V é subespaço se, e somente se,
  1. W não é vazio (ou contém o polinômio zero),
  2. é fechado sob soma de elementos,
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W contém o polinômio zero. Basta escolher a=0. Então
p(x)=0\cdot x^{2}=0
é o polinômio zero e pertence a W. Logo, W\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos dois polinômios quaisquer de W:
p(x)=a x^{2},\quad q(x)=b x^{2},
com a,b\in\mathbb{R}. A soma é
(p+q)(x)=p(x)+q(x)=a x^{2}+b x^{2}=(a+b)\,x^{2}.
Como a+b\in\mathbb{R}, segue que (p+q)(x) também tem a forma c\,x^{2} e, portanto, está em W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja p(x)=a x^{2}\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Então
(\lambda p)(x)=\lambda\bigl(a x^{2}\bigr)=(\lambda a)\,x^{2}.
Como \lambda a é real, concluímos que \lambda p\in W.

Resposta

W é subespaço de V, pois satisfaz os três requisitos da definição de subespaço.

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