Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, e que
Queremos decidir se
é subespaço de
. Para isso, usamos a definição: um subconjunto
de
é subespaço se, e somente se,
-
não é vazio (ou contém o polinômio zero), - é fechado sob soma de elementos,
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
contém o polinômio zero. Basta escolher
. Então
é o polinômio zero e pertence a
. Logo,
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos dois polinômios quaisquer de
:
com
. A soma é
Como
, segue que
também tem a forma
e, portanto, está em
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
Como
é real, concluímos que
.