Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}\left(2{-n}+3^{-n}\right)
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}\left(2{-n}+3^{-n}\right)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a série
converge e, se possível, encontrar o valor da soma. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar entender sobre séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar:
e
. Isso porque a soma de duas séries convergentes também é convergente, e podemos calcular cada uma individualmente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
. Essa é uma série geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão
é
.
Passo 4
Uma série geométrica
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1 (
). Quando converge, a soma é dada pela fórmula
, onde
é o primeiro termo.
Passo 5
Aplicando isso à nossa primeira série
, temos:
- Primeiro termo
- Razão
Como
, a série converge e a soma é:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda série:
. De novo, é uma série geométrica com razão
.
Passo 7
Aplicando a mesma lógica:
- Primeiro termo
- Razão
Como
, essa série também converge. A soma é:
Resposta
A série é convergente e a soma total é
.