Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}\left(2{-n}+3^{-n}\right)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a série sumn=1^infty(2^-n + 3^-n) converge e, se possível, encontrar o valor da soma. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar entender sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar: sumn=1^infty2^-n e sumn=1^infty3^-n. Isso porque a soma de duas séries convergentes também é convergente, e podemos calcular cada uma individualmente.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: sumn=1^infty2^-n. Essa é uma série geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão r é 2^-1 = 12.

Passo 4

Uma série geométrica sumn=1^inftyar^n-1 converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1 ( |r| < 1). Quando converge, a soma é dada pela fórmula S = a1 - r, onde a é o primeiro termo.

Passo 5

Aplicando isso à nossa primeira série sumn=1^infty2^-n, temos:
  • Primeiro termo a = 2^-1 = 12
  • Razão r = 12
Como |12| < 1, a série converge e a soma é:
S1 = 121 - 12 = 1212 = 1

Passo 6

Agora, vamos para a segunda série: sumn=1^infty3^-n. De novo, é uma série geométrica com razão r = 3^-1 = 13.

Passo 7

Aplicando a mesma lógica:
  • Primeiro termo a = 3^-1 = 13
  • Razão r = 13
Como |13| < 1, essa série também converge. A soma é:
S2 = 131 - 13 = 1323 = 12

Resposta

A série é convergente e a soma total é 1 + 12 = 32.

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