Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{\log n}{n}

Passo 1

Então, temos que decidir se a série sumn=1^infty log nn é convergente. Vamos trabalhar com o conceito de séries infinitas e utilizar um teste apropriado para verificar a convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para séries do tipo sumn=1^infty an, podemos usar o Teste da Integral para verificar a convergência. Esse teste é útil quando os termos an são positivos, contínuos e decrescentes.

Passo 3

No nosso caso, an = log nn é positivo para n >= 2, contínuo e decrescente. Isso significa que podemos aplicar o Teste da Integral para determinar a convergência da série.

Passo 4

Vamos calcular a integral integral1^infty log xx dx.
Integrando, temos:
integral log xx dx = (log x)^22 + C

Passo 5

Agora, precisamos avaliar o limite dessa expressão quando x tende ao infinito:
limx to infty (log x)^22 = infty
Isso significa que a integral diverge para infinito.

Resposta

Como a integral integral1^infty log xx dx diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty log nn também é divergente.

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