Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{\log n}{n}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{\log n}{n}
Passo 1
Então, temos que decidir se a série
é convergente. Vamos trabalhar com o conceito de séries infinitas e utilizar um teste apropriado para verificar a convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para séries do tipo
, podemos usar o Teste da Integral para verificar a convergência. Esse teste é útil quando os termos
são positivos, contínuos e decrescentes.
Passo 3
No nosso caso,
é positivo para
, contínuo e decrescente. Isso significa que podemos aplicar o Teste da Integral para determinar a convergência da série.
Passo 4
Vamos calcular a integral
.
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge para infinito.
Resposta
Como a integral
diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série
também é divergente.