Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{2^{n}}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para decidir se ela converge e, quando possível, achar sua soma. O conteúdo principal é teste de convergência de séries (especialmente o teste da razão) e soma de séries de potências.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão à série dos valores absolutos
. Chamando
,
Como esse limite é menor que 1, a série
converge, logo a original converge absolutamente (e portanto converge).
Passo 3
Para achar a soma, reconhecemos que, para
,
Nossa série é
ou seja, um caso com
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula, temos
Resposta
A série converge (absolutamente) e sua soma é
.