Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^n,n2^n
e pede para decidir se ela converge e, quando possível, achar sua soma. O conteúdo principal é teste de convergência de séries (especialmente o teste da razão) e soma de séries de potências.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão à série dos valores absolutos sum n/2^n. Chamando an = n/2^n,
limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)/2^,n+1n/2^n =limntoinftyn+1ncdot12 =12<1
Como esse limite é menor que 1, a série sum n/2^n converge, logo a original converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 3

Para achar a soma, reconhecemos que, para |x|<1,
sumn=1^inftyn,x^n=x(1-x)^2
Nossa série é
sumn=1^infty(-1)^nn2^n =sumn=1^inftynl(-tfrac12r)^n,
ou seja, um caso com x=-tfrac12.

Passo 4

Substituindo x=-tfrac12 na fórmula, temos
S=-tfrac12l(1-(-tfrac12)r)^2 =-tfrac12l(tfrac32r)^2 =-tfrac12tfrac94 =-29

Resposta

A série converge (absolutamente) e sua soma é -tfrac29.

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