Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
e, quando possível, obter o valor da soma. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas e, se convergente, técnicas para avaliar somas especiais.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da raiz. Seja
. Então
Como
o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.
Passo 3
Da convergência absoluta segue a convergência da série original. Logo,
é convergente.
Passo 4
Não existe expressão elementar simples para
,
porém há uma representação clássica (conhecida como Sophmore’s dream):
porém há uma representação clássica (conhecida como Sophmore’s dream):
Passo 5
Numericamente, a integral (e portanto a soma) vale aproximadamente
Resposta
A série converge (por teste da raiz) e