Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^infty1n^n
e, quando possível, obter o valor da soma. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas e, se convergente, técnicas para avaliar somas especiais.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da raiz. Seja an = 1/n^n. Então
raiz[n]an =raiz[n]1n^n =1n
Como
limntoinfty1n=0<1,
o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Passo 3

Da convergência absoluta segue a convergência da série original. Logo,
sumn=1^infty1n^n
é convergente.

Passo 4

Não existe expressão elementar simples para
sumn=1^infty1n^n,
porém há uma representação clássica (conhecida como Sophmore’s dream):
sumn=1^infty1n^n =integral0^1x^-x,dx

Passo 5

Numericamente, a integral (e portanto a soma) vale aproximadamente
integral0^1x^-x,dxapprox1,995455957

Resposta

A série converge (por teste da raiz) e
sumn=1^infty1n^n =integral0^1x^-x,dxapprox1,995455957

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