Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty1n+raizn
é convergente e, quando for o caso, determinar sua soma.
Conteúdo que vamos usar: séries numéricas e, em particular, o critério de comparação pelo limite com a série harmônica.

Passo 2

Observamos que, para n grande,
1n+raizn =1nl(1+1/raiznr) approx1n,
ou seja, o termo geral da série tem comportamento assintótico como o da série harmônica sum1/n.

Passo 3

Aplicamos o critério de comparação pelo limite. Defina
an=1n+raizn, bn=1n
Então
limntoinftyanbn =limntoinfty1/(n+raizn)1/n =limntoinftyn,n+raizn, =1
Como esse limite é finito e estritamente positivo, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Mas sum bn é a série harmônica, que diverge.

Resposta

A série diverge (não é convergente), logo não existe valor de soma.

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