Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente e, quando for o caso, determinar sua soma.
Conteúdo que vamos usar: séries numéricas e, em particular, o critério de comparação pelo limite com a série harmônica.
Conteúdo que vamos usar: séries numéricas e, em particular, o critério de comparação pelo limite com a série harmônica.
Passo 2
Observamos que, para
grande,
ou seja, o termo geral da série tem comportamento assintótico como o da série harmônica
.
Passo 3
Aplicamos o critério de comparação pelo limite. Defina
Então
Como esse limite é finito e estritamente positivo, as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Mas
é a série harmônica, que diverge.
Resposta
A série diverge (não é convergente), logo não existe valor de soma.