Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} n e{-n{2}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty n e^-n^2
Esse é um caso de série de termos positivos, e vamos usar o teste da razão (ou comparação com integral) para decidir convergência. Não se espera um valor de soma em forma elementar.

Passo 2

Seja an=n e^-n^2. Aplicamos o teste da razão, calculando
L ;=;limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)e^-(n+1)^2n e^-n^2 =limntoinftyn+1n,e^-l((n+1)^2-n^2r)

Passo 3

Note que (n+1)^2-n^2=2n+1, então
an+1an =n+1n,e^-(2n+1)
e, ao levar ntoinfty, temos n+1nto1 e e^-(2n+1)to0. Logo
L = 0

Passo 4

Como L<1, a série converge absolutamente.
Não há expressão elementar para
sumn=1^inftyn e^-n^2; ela pode ser escrita em termos de funções theta, mas não se espera um valor fechado simples.

Resposta

A série converge absolutamente e não possui soma em forma elementar.

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