Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} n e{-n{2}}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} n e{-n{2}}
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
Esse é um caso de série de termos positivos, e vamos usar o teste da razão (ou comparação com integral) para decidir convergência. Não se espera um valor de soma em forma elementar.
Passo 2
Seja
. Aplicamos o teste da razão, calculando
Passo 3
Note que
, então
e, ao levar
, temos
e
. Logo
Passo 4
Como
, a série converge absolutamente.
Não há expressão elementar para
; ela pode ser escrita em termos de funções theta, mas não se espera um valor fechado simples.
Não há expressão elementar para
Resposta
A série converge absolutamente e não possui soma em forma elementar.