Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{|\operatorname{cossec} n|}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftyl|csc nr|raizn,
ou seja, vamos usar critérios de comparação para séries de termos não negativos.

Passo 2

Observamos que, para todo inteiro n, sin n satisfaz l|sin nr|<=1 e nunca é zero (pois nneq kpi para inteiro k). Logo
l|csc nr| = 1l|sin nr|>=1
Dessa forma, o termo geral da série verifica
l|csc nr|raizn;>=;1raizn

Passo 3

A série
sumn=1^infty1raizn
é uma série p-série com p=tfrac12<=1, e sabe-se que ela diverge.

Passo 4

Pela comparação direta, como
0<= l|csc nr|raizn;>=;1raizn
e sum1/raizn diverge, concluímos que
sumn=1^inftyl|csc nr|raizn
também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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