Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^inftye^1/nn^2
e, quando possível, encontrar o valor da soma.
O conteúdo envolvido é séries numéricas, teste de comparação (ou limite) para convergência absoluta e, a título de expressão da soma, uso da expansão em série de potências de e^1/n.

Passo 2

Para ver que a série converge absolutamente, note que para todo n>=1 vale
e^1/n<= e,
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0<= e^1/nn^2<= en^2
Como sumn=1^inftye/n^2=esumn=1^infty1/n^2 é uma p-série com p=2>1, ela converge. Pelo teste da comparação, nossa série converge absolutamente.

Passo 3

Alternativamente, pelo teste da razão (ou do limite), basta observar
limntoinftye^1/nn^21/n^2 =limntoinftye^1/n=1,
e como sum1/n^2 converge, segue que a série dada também converge.

Passo 4

Para obter uma expressão da soma, usamos a expansão em série de Taylor de e^1/n:
e^1/n =sumk=0^infty1k!,1n^k
Substituindo em cada termo da série original:
e^1/nn^2 =sumk=0^infty1k!,1n^k+2

Passo 5

Agora trocamos soma em n por soma em k (justificado por convergência absoluta):
sumn=1^inftye^1/nn^2 =sumn=1^inftysumk=0^infty1k!,1n^k+2 =sumk=0^infty1k!sumn=1^infty1n^k+2 =sumk=0^inftyzeta(k+2)k!,
onde zeta(s)=sumn=1^infty n^-s é a função zeta de Riemann.

Resposta

A série sumn=1^inftye^1/n/n^2 converge absolutamente e sua soma pode ser escrita em forma fechada como
sumn=1^inftye^1/nn^2 =sumk=0^inftyzeta(k+2)k!

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