Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
e, quando possível, encontrar o valor da soma.
O conteúdo envolvido é séries numéricas, teste de comparação (ou limite) para convergência absoluta e, a título de expressão da soma, uso da expansão em série de potências de .
O conteúdo envolvido é séries numéricas, teste de comparação (ou limite) para convergência absoluta e, a título de expressão da soma, uso da expansão em série de potências de
Passo 2
Para ver que a série converge absolutamente, note que para todo
vale
logo
Como
é uma
-série com
, ela converge. Pelo teste da comparação, nossa série converge absolutamente.
Passo 3
Alternativamente, pelo teste da razão (ou do limite), basta observar
e como
converge, segue que a série dada também converge.
Passo 4
Para obter uma expressão da soma, usamos a expansão em série de Taylor de
:
Substituindo em cada termo da série original:
Passo 5
Agora trocamos soma em
por soma em
(justificado por convergência absoluta):
onde
é a função zeta de Riemann.
Resposta
A série
converge absolutamente e sua soma pode ser escrita em forma fechada como