Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}-\cos n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^infty13^n-cos n
Essa é uma série numérica positiva. Para testar convergência vamos usar o teste da razão e, como alternativa de verificação, o teste de comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Aplique o teste da razão em termos dos módulos dos termos an=13^n-cos n. Calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty3^n-cos n3^n+1-cos(n+1) =limntoinfty3^nl(1-cos n3^nr)3cdot3^nl(1-cos(n+1)3^n+1r) =13,<1
Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para reforçar, note que para todo n>=1 vale
3^n-cos n>=3^n-1Longrightarrow 13^n-cos n<=13^n-1<=1tfrac23,3^n=32,13^n
E sabemos que sum 13^n é geométrica com razão 1/3<1, logo converge. Pelo teste da comparação a nossa série também converge.

Passo 4

Não existe uma expressão em forma fechada elementar para
sumn=1^infty13^n-cos n
Portanto, só podemos afirmar a convergência, sem fornecer soma exata.

Resposta

A série converge, mas não há soma em forma fechada.

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