Seja
a curva definida por
.
Determine em
:
expressar o vetor aceleração
por meio dos vetores T e N .
Determine em
expressar o vetor aceleração
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma curva definida por
e pede para, em
, expressarmos o vetor aceleração
em termos dos vetores
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o estudo de curvas no espaço e seus vetores tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor aceleração
. Para isso, vamos derivar a função posição
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada
nos dá o vetor velocidade:
Agora, a segunda derivada
nos dá o vetor aceleração:
Passo 3
Agora, vamos avaliar
em
:
Passo 4
Para expressar
em termos dos vetores
e
, precisamos primeiro encontrar o vetor tangente unitário
e o vetor normal unitário
na curva no ponto
.
Primeiro, vamos encontrar
:
Onde
é o comprimento do vetor velocidade.
Calculando
:
Agora, o comprimento de
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário
. O vetor normal é definido como a derivada do vetor tangente
em relação ao comprimento do arco, mas uma maneira mais direta é usar a fórmula:
Calculando
:
O comprimento de
:
Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos expressar
como uma combinação linear desses vetores:
Precisamos encontrar os coeficientes
e
.
Para isso, podemos resolver o sistema de equações obtido igualando as componentes:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de
e
.
Passo 7
Após resolver o sistema de equações, encontramos:
Portanto, a aceleração
pode ser expressa como:
Resposta
A aceleração
expressa em termos dos vetores
e
é:
onde
e
são os coeficientes determinados na resolução acima.