Fazer um esboço da curva x=3 cos t ; y=3 sen t ; z=4t, e achar os vetores T(t), N(t), B(t);

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t) = l(3cos t,;3sin t,;4tr),
que é uma hélice de raio 3 em torno do eixo z, subindo 4 unidades de z a cada volta. Vamos esboçar projetando no plano xy (círculo de raio 3) e vendo que z cresce linearmente com t. Em seguida usaremos as fórmulas
T(t)= r'(t)| r'(t)|, N(t)= T'(t)| T'(t)|, B(t)= T(t)times N(t)

Passo 2

Calculemos
r'(t)=l(-3sin t,;3cos t,;4r)
A norma vale
| r'(t)|=raiz(-3sin t)^2+(3cos t)^2+4^2 =raiz9(sin^2t+cos^2t)+16=raiz25=5
Logo o vetor unitário tangente é
T(t)=15l(-3sin t,;3cos t,;4r)

Passo 3

Derivando T(t) obtemos
T'(t)=15l(-3cos t,;-3sin t,;0r)
Sua norma é
| T'(t)| =15raiz(-3cos t)^2+(-3sin t)^2 =15raiz9(cos^2t+sin^2t) =35
Assim o vetor normal principal é
N(t)= T'(t)| T'(t)| =tfrac15(-3cos t,-3sin t,0)tfrac35 =l(-cos t,;- sin t,;0r)

Passo 4

O binormal é o produto vetorial
B(t)= T(t)times N(t) =15(-3sin t,,3cos t,,4)times(-cos t,,-sin t,,0)
Calculando componente a componente surge
B(t) =15l(4sin t,;-4cos t,;3r),
que de fato tem norma unária.

Resposta

Esboço: curva helicoidal de raio 3 no plano xy e crescimento linear de z.
T(t)=15l(-3sin t,;3cos t,;4r), N(t)=l(-cos t,;- sin t,;0r), B(t)=15l(4sin t,;-4cos t,;3r)

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