Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+2,
aplicando o critério de Leibniz (série alternada com termos positivos que tendem a zero e são monótonos a partir de certo ponto). Se possível, determinar a soma.

Passo 2

Mostramos que os termos gerais
an=n^2n^3+2
tendem a zero. Para isso, observe que, quando ntoinfty,
an=n^2n^3+2=1n,11+2/n^3sim1nto 0
Logo, limntoinftyan=0.

Passo 3

Verificamos a monoticidade de an para n grandes. Considere a função
f(x)=x^2x^3+2, x>0
Seu derivado é
f'(x) =2x(x^3+2)-x^2cdot3x^2(x^3+2)^2 =-,x^4+4x(x^3+2)^2
A desigualdade f'(x)<0 equivale a x^4>4x, isto é, x>4^1/3approx1,59. Assim, para todo n>=2, an+1<an. Então a sequência an é monótona decrescente a partir de n=2.

Passo 4

Como an>0, limntoinftyan=0 e an é decrescente para n>=2, pelo critério de Leibniz a série
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge.

Passo 5

Examinamos a convergência absoluta:
sumn=1^inftygl|n^2n^3+2gr| =sumn=1^inftyn^2n^3+2 simsumn=1^infty1n,
que diverge (série harmônica). Então a série não converge absolutamente, logo sua convergência é apenas condicional.

Passo 6

Não existe expressão elementar conhecida para a soma
S=sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+2
Podemos apenas afirmar a convergência condicional, mas não obter um valor fechado em termos de funções elementares.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz e diverge absolutamente. Não é possível obter uma expressão fechada para a soma.

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