Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{3}+2}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{3}+2}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
aplicando o critério de Leibniz (série alternada com termos positivos que tendem a zero e são monótonos a partir de certo ponto). Se possível, determinar a soma.
Passo 2
Mostramos que os termos gerais
tendem a zero. Para isso, observe que, quando
,
Logo,
.
Passo 3
Verificamos a monoticidade de
para
grandes. Considere a função
Seu derivado é
A desigualdade
equivale a
, isto é,
. Assim, para todo
,
. Então a sequência
é monótona decrescente a partir de
.
Passo 4
Como
,
e
é decrescente para
, pelo critério de Leibniz a série
converge.
Passo 5
Examinamos a convergência absoluta:
que diverge (série harmônica). Então a série não converge absolutamente, logo sua convergência é apenas condicional.
Passo 6
Não existe expressão elementar conhecida para a soma
Podemos apenas afirmar a convergência condicional, mas não obter um valor fechado em termos de funções elementares.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz e diverge absolutamente. Não é possível obter uma expressão fechada para a soma.