Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{3^{n} n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 3^nn!n^n
e, se ela convergir, determinar a soma. Este tipo de problema envolve testes de convergência para séries (aqui o teste da razão é o mais indicado, já que há fator fatorial e potência).

Passo 2

Seja
an = 3^nn!n^n
Aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an = 3^,n+1(n+1)!/(n+1)^,n+13^n,n!/n^n =3;(n+1),n^n(n+1)^,n+1 =3;n^n(n+1)^n =3gl(nn+1gr)^!n

Passo 3

Como
limntoinftygl(nn+1gr)^!n =limntoinfty1(1+1/n)^n =1e,
segue que
limntoinftyan+1an =3cdot1e =3e
Como tfrac3e>1, o teste da razão diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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