Nos exercícios 10 e 11, calcule, caso exista, a inversa da matriz A.
A=[rrr-2 & 3 & -1 1 & -3 & 1 -1 & 2 & -1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = -2 & 3 & -1 [4pt] 1 & -3 & 1 [4pt] -1 & 2 & -1 ,
caso ela exista. Vamos usar o método de Gauss–Jordan, que consiste em aplicar operações elementares sobre a matriz aumentada l[A mid Ir] até transformá-la em l[I mid A^-1r].]

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e, para obter pivô 1 na posição (1,1), trocamos R1rightarrow R2. Em seguida eliminamos os elementos abaixo desse pivô:
[ccc|ccc -2 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] ;oversetR1rightarrow R2longrightarrow; [ccc|ccc 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 -2 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] ;oversetsubstackR2to R2+2R1[2pt]R3to R3+R1longrightarrow; [ccc|ccc 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -3 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 ] ]

Passo 3

Normalizamos R2 dividindo-a por -3 e eliminamos os elementos acima e abaixo do pivô na coluna 2:
[ccc|ccc 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -3 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 ] ;oversetR2to -tfrac13,R2longrightarrow; [ccc|ccc 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -tfrac13 & -tfrac13 & -tfrac23 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 ] ;oversetsubstackR1to R1+3R2[2pt]R3to R3+R2longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & -tfrac13 & -tfrac13 & -tfrac23 & 0 0 & 0 & -tfrac13 & -tfrac13 & tfrac13 & 1 ] ]

Passo 4

Por fim, normalizamos R3 dividindo-a por -tfrac13 e eliminamos o elemento não nulo acima na coluna 3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & -tfrac13 & -tfrac13 & -tfrac23 & 0 0 & 0 & -tfrac13 & -tfrac13 & tfrac13 & 1 ] ;oversetR3to -3,R3longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & -tfrac13 & -tfrac13 & -tfrac23 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -3 ] ;oversetR2to R2+tfrac13,R3longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -3 ]

Resposta

A inversa de A é
A^-1 = -1 & -1 & 0[4pt] 0 & -1 & -1[4pt] 1 & -1 & -3 ]

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