Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma aplicação
que leva vetores do espaço
para polinômios de grau no máximo 1, representados por
. A função é definida por
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa aplicação é linear. Para isso, precisamos lembrar que uma aplicação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar dessas duas propriedades para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade de aditividade. Isso significa que, para quaisquer dois vetores
e
em
, deve valer que:
Vamos calcular cada parte:
- Soma dos vetores:
- Aplicando
na soma:
- Aplicando
em e separadamente e somando:
Como
, a aplicação
respeita a aditividade.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Ou seja, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
em
, deve ser válido que:
Vamos calcular cada parte:
- Multiplicando o vetor por
:
- Aplicando
em :
- Aplicando
em e depois multiplicando por :
Como
, a aplicação
também respeita a homogeneidade.
Resposta
A aplicação
é linear.