Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
T: R^2 R[x]1, T(a, b)=a+b x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma aplicação T que leva vetores do espaço R^2 para polinômios de grau no máximo 1, representados por R[x]1 . A função é definida por T(a, b) = a + b x . Nosso objetivo aqui é verificar se essa aplicação é linear. Para isso, precisamos lembrar que uma aplicação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar dessas duas propriedades para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade de aditividade. Isso significa que, para quaisquer dois vetores u = (a1, b1) e v = (a2, b2) em R^2 , deve valer que:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Vamos calcular cada parte:
  1. Soma dos vetores:
u + v = (a1 + a2, b1 + b2)
  1. Aplicando T na soma:
T(u + v) = (a1 + a2) + (b1 + b2)x
  1. Aplicando T em u e v separadamente e somando:
T(u) = a1 + b1x T(v) = a2 + b2x T(u) + T(v) = (a1 + a2) + (b1 + b2)x
Como T(u + v) = T(u) + T(v) , a aplicação T respeita a aditividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Ou seja, para qualquer vetor u = (a, b) em R^2 e qualquer escalar c em R , deve ser válido que:
T(cu) = cT(u)
Vamos calcular cada parte:
  1. Multiplicando o vetor por c :
cu = (c a, c b)
  1. Aplicando T em cu :
T(cu) = c a + c b x
  1. Aplicando T em u e depois multiplicando por c :
T(u) = a + b x cT(u) = c(a + b x) = c a + c b x
Como T(cu) = cT(u) , a aplicação T também respeita a homogeneidade.

Resposta

A aplicação T(a, b) = a + b x é linear.

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