Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a aplicação
definida por
é linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear. Precisamos checar se
preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
preserva a adição. Isso significa que, para dois polinômios
e
, a aplicação de
na soma
deve ser igual à soma das aplicações de
em
e
individualmente.
Calculando
:
Agora, somando
e
:
Comparando os resultados:
Vemos que o terceiro componente não é igual, então
não preserva a adição.
Passo 3
Mesmo que já tenhamos encontrado uma diferença na preservação da adição, vamos também verificar se
preserva a multiplicação por escalares. Ou seja, para um polinômio
e um escalar
, a aplicação de
em
deve ser igual a
.
Calculando
:
Agora, multiplicando
por
:
Comparando os resultados:
Aqui também vemos que o terceiro componente é diferente, a menos que
, o que não é geral.
Resposta
Como
não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalares de forma geral, a aplicação
não é linear.