Verifique, em cada caso, se a aplicação dada é linear.
T: R[x]1 R^3, T(a+b x)=(a, a-b, b+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a aplicação T: R[x]1 R^3 definida por T(a + bx) = (a, a - b, b + 1) é linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear. Precisamos checar se T preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se T preserva a adição. Isso significa que, para dois polinômios p(x) = a + bx e q(x) = c + dx , a aplicação de T na soma p(x) + q(x) deve ser igual à soma das aplicações de T em p(x) e q(x) individualmente.
Calculando T(p(x) + q(x)) :
T((a + c) + (b + d)x) = (a + c, (a + c) - (b + d), (b + d) + 1)
Agora, somando T(p(x)) e T(q(x)) :
T(p(x)) + T(q(x)) = (a, a - b, b + 1) + (c, c - d, d + 1) = (a + c, (a - b) + (c - d), (b + 1) + (d + 1))
= (a + c, a + c - b - d, b + d + 2)
Comparando os resultados:
(a + c, a + c - b - d, b + d + 1) neq (a + c, a + c - b - d, b + d + 2)
Vemos que o terceiro componente não é igual, então T não preserva a adição.

Passo 3

Mesmo que já tenhamos encontrado uma diferença na preservação da adição, vamos também verificar se T preserva a multiplicação por escalares. Ou seja, para um polinômio p(x) = a + bx e um escalar k , a aplicação de T em k cdot p(x) deve ser igual a k cdot T(p(x)) .
Calculando T(k cdot p(x)) :
T(k cdot (a + bx)) = T(ka + kbx) = (ka, ka - kb, kb + 1)
Agora, multiplicando T(p(x)) por k :
k cdot T(p(x)) = k cdot (a, a - b, b + 1) = (ka, k(a - b), k(b + 1))
= (ka, ka - kb, kb + k)
Comparando os resultados:
(ka, ka - kb, kb + 1) neq (ka, ka - kb, kb + k)
Aqui também vemos que o terceiro componente é diferente, a menos que k = 1 , o que não é geral.

Resposta

Como T não preserva nem a adição nem a multiplicação por escalares de forma geral, a aplicação T não é linear.

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