Nos exercícios de 4 a 7 expresse a integral de superficie como uma integral dupla iterada utilizando uma projeção de S sobre a) o plano y z e b) o plano x z.
\iint_{S}(x z+2 y) d S, S é a parte do gráfico de y=x^{3} entre os planos y=0, y=8, z=0, z=2.

Passo 1

O enunciado pede para expressar a integral de superfície
\iint_{S}(x z+2 y)\,dS
onde S é a parte do gráfico de y=x^{3} limitada pelos planos y=0, y=8, z=0 e z=2, como integral dupla iterada usando duas projeções diferentes.
Conteúdo: integral de superfície de uma superfície paramétrica. Vamos usar que, dada uma parametrização \mathbf r(u,v),
dS=\bigl\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\bigr\|\,du\,dv
e substituir y=x^{3} na função integranda para obter só x e z, ou só y e z.

Passo 2

Projeção de S sobre o plano x z.
Parametrizamos por (x,z):
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\;x^{3},\;z\bigr), \quad 0\le x\le2,\;0\le z\le2.
Calculamos os vetores tangentes:
\mathbf r_{x} = (1,\;3x^{2},\;0), \quad \mathbf r_{z} = (0,\;0,\;1).
O produto vetorial e seu módulo são
\mathbf r_{x}\times\mathbf r_{z} =(3x^{2},\;-1,\;0), \qquad \bigl\|\mathbf r_{x}\times\mathbf r_{z}\bigr\| =\sqrt{(3x^{2})^{2}+(-1)^{2}} =\sqrt{9x^{4}+1}.
Como y=x^{3}, a integranda fica x z+2x^{3}. Portanto a integral é
\int_{x=0}^{2}\int_{z=0}^{2} \bigl(xz+2x^{3}\bigr)\,\sqrt{9x^{4}+1} \;dz\,dx.

Passo 3

Projeção de S sobre o plano y z.
Aqui escrevemos x em função de y: x=y^{1/3}. Parametrizamos por (y,z):
\mathbf r(y,z) = \bigl(y^{1/3},\;y,\;z\bigr), \quad 0\le y\le8,\;0\le z\le2.
Os vetores tangentes são
\mathbf r_{y} = \Bigl(\tfrac{1}{3}y^{-\tfrac{2}{3}},\;1,\;0\Bigr), \quad \mathbf r_{z} = (0,\;0,\;1).
O produto vetorial e seu módulo dão
\mathbf r_{y}\times\mathbf r_{z} =\Bigl(1,\;-{\tfrac{1}{3}}y^{-\tfrac{2}{3}},\;0\Bigr), \quad \bigl\|\mathbf r_{y}\times\mathbf r_{z}\bigr\| =\sqrt{1+\frac{1}{9\,y^{4/3}}}.
A integranda em termos de y e z é
x z+2y = y^{1/3}z +2y.
Logo a integral fica
\int_{y=0}^{8}\int_{z=0}^{2} \bigl(y^{1/3}z+2y\bigr)\, \sqrt{1+\frac{1}{9\,y^{4/3}}} \;dz\,dy.

Resposta

a) Projeção sobre xz:
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{2} \bigl(xz+2x^{3}\bigr)\,\sqrt{9x^{4}+1} \;dz\,dx.
b) Projeção sobre yz:
\int_{0}^{8}\!\int_{0}^{2} \bigl(y^{1/3}z+2y\bigr)\, \sqrt{1+\tfrac{1}{9\,y^{4/3}}} \;dz\,dy.

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