Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial \vec{F} através da superficie \delta suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+2 z \vec{k}, \delta é a porção do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial orientado para cima através da porção do cone z=\sqrt{x^2+y^2} entre z=1 e z=2. O conteúdo necessário é parametrização de superfície em coordenadas cilíndricas, cálculo do vetor normal elemental \mathbf{n}\,dS e avaliação de uma integral dupla.

Passo 2

Parametrizamos a superfície pelo par (r,\theta), usando
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = r,
com 1\le r\le2 e 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais \mathbf{r}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1) e \mathbf{r}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta =\bigl(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r\bigr),
cuja componente em k é positiva, garantindo orientação para cima. Esse vetor vale \mathbf{n}\,dS.

Passo 4

No parâmetro, o campo é
\mathbf{F}(r,\theta) =(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2r).
O produto escalar fica
\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta) =r\cos\theta\bigl(-r\cos\theta\bigr) +r\sin\theta\bigl(-r\sin\theta\bigr) +2r\cdot r =-r^2+r^2+2r^2 =r^2.
Logo o fluxo é
\iint_{\delta}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{2}r^2\,dr\,d\theta =\Bigl[\frac{r^3}{3}\Bigr]_{1}^{2}\cdot2\pi =\frac{7}{3}\cdot2\pi =\frac{14\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14\pi}{3}

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