Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial \vec{F} através da superficie \delta suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{k}, \delta é a porção do parabolóide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=y.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec F(x,y,z)=x\,\vec k
através da parte do paraboloide
z = x^2+y^2
que fica abaixo do plano z=y, com orientação “para cima”. Vamos tratar a superfície como gráfico de uma função z=f(x,y) e usar a fórmula de fluxo para gráficos.

Passo 2

Como z=f(x,y) com
f(x,y)=x^2+y^2,
o vetor área orientado para cima é
\mathbf n\,dS = \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr)\,dx\,dy.
Aqui precisamos de f_x e f_y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
f_x = 2x,\quad f_y = 2y,
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\mathbf n\,dS = (-2x,\,-2y,\,1)\,dx\,dy.
O campo é \vec F=(0,0,x), então
\vec F\cdot\mathbf n\,dS = (0,0,x)\cdot(-2x,-2y,1)\,dx\,dy = x\,dx\,dy.

Passo 4

A região D no plano xy vem da condição “abaixo de z=y”:
x^2+y^2\le y.
Essa desigualdade pode ser reescrita como
x^2 + (y-\tfrac12)^2 \le \tfrac14,
que é um disco de raio \tfrac12 centrado em \bigl(0,\tfrac12\bigr).

Passo 5

O fluxo é
\iint_D x\,dx\,dy.
Como D é simétrico em x (se (x,y)\in D então (-x,y)\in D) e a função integranda é ímpar em x, a integral se anula:
\iint_D x\,dx\,dy = 0.

Resposta

O fluxo de \vec F através de \delta é 0.

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