Nos exercícios de 4 a 7 expresse a integral de superficie como uma integral dupla iterada utilizando uma projeção de S sobre a) o plano y z e b) o plano x z.
\iint_{S}\left(x^{2}-2 y+z\right) d S, S é a parte do gráfico de 4 x+y=8 delimitada pelos planos coordenados e pelo plano z=6.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\iint_{S}\bigl(x^{2}-2y+z\bigr)\,dS,
onde S é a parte do plano definido por
4x+y=8
limitada pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano z=6.
O conteúdo aqui é integral de superfície via projeção: se S é dada por
  • x=g(y,z), então
dS = \sqrt{1+\bigl(g_{y}\bigr)^{2}+\bigl(g_{z}\bigr)^{2}}\;dy\,dz,
  • y=h(x,z), então
dS = \sqrt{1+\bigl(h_{x}\bigr)^{2}+\bigl(h_{z}\bigr)^{2}}\;dx\,dz.

Passo 2

Projeção de S sobre o plano yz: da equação 4x+y=8 segue
x = g(y,z) = \frac{8-y}{4}, \quad y\in[0,8],\; z\in[0,6].
Calculamos
g_{y} = -\tfrac14,\quad g_{z}=0 \quad\Longrightarrow\quad dS = \sqrt{1+\bigl(-\tfrac14\bigr)^{2}+0^{2}}\;dy\,dz = \frac{\sqrt{17}}{4}\;dy\,dz.
Substituindo na integral, obtemos
\iint_{S}\bigl(x^{2}-2y+z\bigr)\,dS =\int_{y=0}^{8}\int_{z=0}^{6} \Bigl(\bigl(\tfrac{8-y}{4}\bigr)^{2}-2y+z\Bigr)\,\frac{\sqrt{17}}{4}\;dz\,dy.

Passo 3

Projeção de S sobre o plano xz: da mesma equação vem
y = h(x,z) = 8-4x, \quad x\in[0,2],\; z\in[0,6].
Temos
h_{x} = -4,\quad h_{z}=0 \quad\Longrightarrow\quad dS = \sqrt{1+(-4)^{2}+0^{2}}\;dx\,dz = \sqrt{17}\;dx\,dz.
Assim a integral fica
\iint_{S}\bigl(x^{2}-2y+z\bigr)\,dS =\int_{x=0}^{2}\int_{z=0}^{6} \bigl(x^{2}-2(8-4x)+z\bigr)\,\sqrt{17}\;dz\,dx.

Resposta

a)
\iint_{S}\bigl(x^{2}-2y+z\bigr)\,dS =\int_{y=0}^{8}\int_{z=0}^{6} \Bigl(\bigl(\tfrac{8-y}{4}\bigr)^{2}-2y+z\Bigr)\,\frac{\sqrt{17}}{4}\;dz\,dy.
b)
\iint_{S}\bigl(x^{2}-2y+z\bigr)\,dS =\int_{x=0}^{2}\int_{z=0}^{6} \bigl(x^{2}-2(8-4x)+z\bigr)\,\sqrt{17}\;dz\,dx.

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