Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial \vec{F} através da superficie \delta suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
\vec{F}(x, y, z)=y \vec{j}+\vec{k}, \delta é a porção do parabolóide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec F(x,y,z)=y\,\vec \jmath+\vec k através da superfície \delta dada por
z = x^2+y^2,\quad z\le4,
orientada para cima.
Conteúdo: integral de superfície de um campo vetorial em uma superfície gráfica z=f(x,y). Usaremos a fórmula
\iint_S \vec F\cdot\mathbf n\,dS =\iint_D \bigl(-P\,f_x - Q\,f_y + R\bigr)\,dA,
onde \vec F=(P,Q,R) e D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Identificamos P=0, Q=y, R=1 e f(x,y)=x^2+y^2. Calculamos as derivadas parciais:
f_x = 2x, \quad f_y = 2y.
Logo, o integrando fica
-P\,f_x - Q\,f_y + R =0\cdot(2x) - y\cdot(2y) +1 =1 - 2y^2.

Passo 3

A região D é o disco x^2+y^2\le4. Assim o fluxo é
\iint_D (1-2y^2)\,dA.

Passo 4

Passamos para coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi. O integrando vira
1-2(r\sin\theta)^2 = 1-2r^2\sin^2\theta,
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\iint_D(1-2y^2)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\bigl(1-2r^2\sin^2\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculemos as integrais em r:
\int_{0}^{2}\!r\,dr = 2, \quad \int_{0}^{2}\!r^3\,dr = 4.
Então
\int_{0}^{2\pi}\!\Bigl[2 -2\cdot4\sin^2\theta\Bigr]\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\bigl(2-8\sin^2\theta\bigr)\,d\theta.
Usando \sin^2\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta),
2-8\sin^2\theta =2-4+4\cos2\theta =-2+4\cos2\theta.
Integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}(-2+4\cos2\theta)\,d\theta = -2\cdot2\pi +4\cdot0 = -4\pi.

Resposta

O fluxo de \vec F através de \delta orientada para cima é -4\pi.

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