Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial
através da superficie
suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
é a porção do parabolóide
abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície
dada por
orientada para cima.
Conteúdo: integral de superfície de um campo vetorial em uma superfície gráfica . Usaremos a fórmula
Conteúdo: integral de superfície de um campo vetorial em uma superfície gráfica
onde
e
é a projeção de
no plano
.
Passo 2
Identificamos
,
,
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Logo, o integrando fica
Passo 3
A região
é o disco
. Assim o fluxo é
Passo 4
Passamos para coordenadas polares:
,
,
, com
,
. O integrando vira
logo
Passo 5
Calculemos as integrais em
:
Então
Usando
,
Integramos em
:
Resposta
O fluxo de
através de
orientada para cima é
.