Os exercícios de (10) a (15) são baseados no cálculo via Teste da Integral da estimativa do resto de uma série convergente para . Ou seja, na aproximação de uma série por uma soma parcial , comete-se o , em que é definido a partir da seguinte identidade:
Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série sumk=1^infty ak=S convergente em que a sequência de termos positivos (ak) é tal que ak=f(k), com f positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em x>n. Então, o resto Rn=S-Sn satisfaz a desigualdade:
integraln+1^infty f(x) d x <= Rn=sumk=n+1^infty ak <= integraln^infty f(x) d x
Passo 1
O enunciado trata de uma série convergente
sumk=1^inftyak=S
cujo termo geral positivo satisfaz ak=f(k), onde f é contínua, positiva e decrescente em x>n. Definimos a soma parcial