Os exercícios de (10) a (15) são baseados no cálculo via Teste da Integral da estimativa do resto Rn de uma série sum ak convergente para S. Ou seja, na aproximação de uma série sumk=1^infty ak=S por uma soma parcial Sn=sumk=1^n, comete-se o erro varepsilonn=|Rn|, em que Rn é definido a partir da seguinte identidade:
underbracesumk=1^infty akS=underbracesumk=1^n akSn+underbracesumk=n+1^infty akRn Rightarrow S=Sn+Rn
Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série sumk=1^infty ak=S convergente em que a sequência de termos positivos (ak) é tal que ak=f(k), com f positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em x>n. Então, o resto Rn=S-Sn satisfaz a desigualdade:
integraln+1^infty f(x) d x <= Rn=sumk=n+1^infty ak <= integraln^infty f(x) d x

Passo 1

O enunciado trata de uma série convergente
sumk=1^inftyak=S
cujo termo geral positivo satisfaz ak=f(k), onde f é contínua, positiva e decrescente em x>n. Definimos a soma parcial
Sn=sumk=1^nak
e o resto
Rn=S-Sn=sumk=n+1^inftyak
Queremos provar que
integraln+1^inftyf(x),dx ;<=; Rn;<=;integraln^inftyf(x),dx
Usaremos a comparação geométrica entre retângulos de base 1 e altura f(k) e as áreas sob o gráfico de f (como em somas de Riemann).

Passo 2

Para cada k>= n+1, como f é decrescente, em xin[k,k+1] vale
f(x)<= f(k)
Integrando de k a k+1 obtemos
integralk^k+1f(x),dx <= integralk^k+1f(k),dx = f(k)cdotl((k+1)-kr)=f(k)
Somando essa desigualdade de k=n+1 até k=m
integraln+1^m+1f(x),dx <= sumk=n+1^mf(k)
Fazendo mtoinfty (já que tanto a série quanto a integral convergem) segue
integraln+1^inftyf(x),dx <= sumk=n+1^inftyf(k) =Rn

Passo 3

Para obter o limite superior, note que em xin[k-1,k] temos
f(x)>= f(k),
pois f é decrescente. Assim,
integralk-1^kf(x),dx >= integralk-1^kf(k),dx = f(k)cdot1=f(k)
Somando de k=n+1 até k=m resulta
integraln^mf(x),dx =sumk=n+1^mintegralk-1^kf(x),dx >= sumk=n+1^mf(k)
Fazendo mtoinfty conclui-se
integraln^inftyf(x),dx >= sumk=n+1^inftyf(k) =Rn

Passo 4

Juntando as duas desigualdades obtidas:
integraln+1^inftyf(x),dx ;<=; Rn ;<=;integraln^inftyf(x),dx

Resposta

boxedintegraln+1^inftyf(x),dx ;<=; Rn=sumk=n+1^inftyak ;<=;integraln^inftyf(x),dx

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