Mostre que a elipse
e a hipérbole
são trajetórias ortogonais se
(logo, a elipse e a hipérbole possuem os mesmos focos).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as curvas
e
são trajetórias ortogonais, isto é, em cada ponto de interseção seus declives satisfazem
Para isso vamos: (i) obter
em cada curva por diferenciação implícita, (ii) multiplicar os declives e (iii) usar as equações das curvas e a relação
para concluir que o produto vale
.
Passo 2
Diferenciando implicitamente a elipse
em relação a
temos
Passo 3
Diferenciando implicitamente a hipérbole
obtemos
Passo 4
O produto dos declives é
Para concluir que isso vale
, precisamos mostrar que em todo ponto comum
Passo 5
Nos pontos de interseção valem simultaneamente
Dessas duas equações extrai-se, após manipulações algébricas e usando
, que
Logo
o que mostra ortogonalidade.
Resposta
As duas curvas são ortogonais, pois em cada ponto de interseção o produto de seus declives é
.