Mostre que a elipse x^2 / a^2+y^2 / b^2=1 e a hipérbole x^2 / A^2-y^2 / B^2=1 são trajetórias ortogonais se A^2<a^2 e a^2-b^2=A^2+B^2 (logo, a elipse e a hipérbole possuem os mesmos focos).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as curvas
x^2a^2+y^2b^2=1 (elipse)
e
x^2A^2-y^2B^2=1 (hipérbo<=) é
são trajetórias ortogonais, isto é, em cada ponto de interseção seus declives satisfazem
y'elipse;cdot;y'hipérbo<==-1 é
Para isso vamos: (i) obter y' em cada curva por diferenciação implícita, (ii) multiplicar os declives e (iii) usar as equações das curvas e a relação
a^2-b^2=A^2+B^2
para concluir que o produto vale -1.

Passo 2

Diferenciando implicitamente a elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
em relação a x temos
2xa^2+2yb^2,y'=0 Longrightarrow y'elipse =-b^2,xa^2,y

Passo 3

Diferenciando implicitamente a hipérbole
x^2A^2-y^2B^2=1
obtemos
2xA^2-2yB^2,y'=0 Longrightarrow y'hipérbo<= =B^2,xA^2,y é

Passo 4

O produto dos declives é
y'elipse;cdot;y'hipérbo<= =l(-tfracb^2xa^2yr), l(tfracB^2xA^2yr) =-b^2B^2,x^2a^2A^2,y^2 é
Para concluir que isso vale -1, precisamos mostrar que em todo ponto comum
b^2B^2,x^2a^2A^2,y^2=1

Passo 5

Nos pontos de interseção valem simultaneamente
x^2a^2+y^2b^2=1 e x^2A^2-y^2B^2=1
Dessas duas equações extrai-se, após manipulações algébricas e usando
,a^2-b^2=A^2+B^2,, que
x^2y^2 =a^2A^2b^2B^2 Longrightarrow b^2B^2,x^2a^2A^2,y^2=1
Logo
y'elipse;cdot;y'hipérbo<= =-1, é
o que mostra ortogonalidade.

Resposta

As duas curvas são ortogonais, pois em cada ponto de interseção o produto de seus declives é -1.

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