Resolva a equação: arctan ^2(3 x+2)+2 arctan (3 x+2)=0

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a equação
arctan^2(3x+2);+;2,arctan(3x+2);=;0
Matéria: funções inversas trigonométricas (arctan) e resolução de equações polinomiais via substituição.
O que vamos usar:
  1. Substituir arctan(3x+2) por uma variável t.
  2. Lembrar o domínio e imagem da função arctan.
  3. Fatorar e resolver um polinômio de 2º grau.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = arctan(3x+2),
a equação vira
t^2 ;+;2t ;=;0
Isso acontece porque arctan^2(3x+2) é só t^2 e 2,arctan(3x+2) é 2t.

Passo 3

Agora resolvemos
t^2 + 2t = 0
fatorando:
t,(t + 2) = 0
Logo as soluções para t são
t = 0 ou t = -2

Passo 4

Caso t = 0:
arctan(3x+2) = 0 ;Longrightarrow; 3x + 2 = tan(0) = 0 ;Longrightarrow; x = -tfrac23

Passo 5

Caso t = -2:
arctan(3x+2) = -2 ;Longrightarrow; 3x + 2 = tan(-2)
Porém, atenção: a função arctan (principal) só retorna valores entre
-tfracpi2approx -1,57 e +tfracpi2approx +1,57
Como -2 é menor que -tfracpi2, não existe nenhum y tal que arctan(y)=-2. Logo esse caso não dá solução real.

Resposta

A única solução real é
boxedx = -tfrac23

Exercícios relacionados